Una famiglia di iperpiani
Ciao a tutti.. sto studiando il gruppo di Weyl e le camere di Weyl, per il corso di Algebre di Lie.
Ho un dubbio che probabilmente deriva da qualche buco nella mia preparazione in algebra lineare. Vi spiego:
Prendiamo un sistema di radici ${a_1,...,a_t}$ in $RR^n$, ovvero un sistema (finito) di generatori che soddisfi alcune proprietà che per la questione possono essere trascurate.
Consideriamo gli iperpiani ortogonali ai vari $a_i$, diciamo i $P_i$.
Ora i $P_i$ dividono $RR^n$ in varie regioni.. quello che si afferma e di cui non capisco bene il motivo è questo:
Se due vettori $\gamma, \gamma '$ (che non stiano su nessuno degli iperpiani) stanno dalla stessa parte rispetto a tutti gli iperpiani $P_i$, allora $(\gamma, a_i)$ e $(\gamma ', a_i)$ hanno lo stesso segno $\forall i$.
Qualcuno mi sa aiutare a capire questa cosa? In $RR^2$ la situazione si visualizza bene.. e il risultato è certamente convincente ma non saprei come dimostrarlo.
Ho un dubbio che probabilmente deriva da qualche buco nella mia preparazione in algebra lineare. Vi spiego:
Prendiamo un sistema di radici ${a_1,...,a_t}$ in $RR^n$, ovvero un sistema (finito) di generatori che soddisfi alcune proprietà che per la questione possono essere trascurate.
Consideriamo gli iperpiani ortogonali ai vari $a_i$, diciamo i $P_i$.
Ora i $P_i$ dividono $RR^n$ in varie regioni.. quello che si afferma e di cui non capisco bene il motivo è questo:
Se due vettori $\gamma, \gamma '$ (che non stiano su nessuno degli iperpiani) stanno dalla stessa parte rispetto a tutti gli iperpiani $P_i$, allora $(\gamma, a_i)$ e $(\gamma ', a_i)$ hanno lo stesso segno $\forall i$.
Qualcuno mi sa aiutare a capire questa cosa? In $RR^2$ la situazione si visualizza bene.. e il risultato è certamente convincente ma non saprei come dimostrarlo.
Risposte
Le parentesi tonde indicano il prodotto scalare?
EDIT: Se quello è il prodotto scalare allora direi che si tratta solo di una riformulazione del rigo precedente. Tu dici $gamma, gamma'$ stanno dalla stessa parte rispetto ad ogni $P_i$. Ciò significa, analiticamente, che scomponendo
$gamma = lambda a_i + gamma_{bot},\quad gamma'=mu a_i + gamma'_{bot}$
in modo tale che $gamma_{bot}, gamma'_{bot} \in P_i$, devono aversi $lambda, mu$ non nulli (ovvero, $gamma, gamma' \notin P_i$) e di segno concorde. Siccome $gamma*a_i=lambda |a_i|^2, gamma'*a_i=mu |a_i|^2$, ed essendo $a_i!=0$, questo è proprio la stessa cosa che richiedere i prodotti scalari di segno concorde.
EDIT: Se quello è il prodotto scalare allora direi che si tratta solo di una riformulazione del rigo precedente. Tu dici $gamma, gamma'$ stanno dalla stessa parte rispetto ad ogni $P_i$. Ciò significa, analiticamente, che scomponendo
$gamma = lambda a_i + gamma_{bot},\quad gamma'=mu a_i + gamma'_{bot}$
in modo tale che $gamma_{bot}, gamma'_{bot} \in P_i$, devono aversi $lambda, mu$ non nulli (ovvero, $gamma, gamma' \notin P_i$) e di segno concorde. Siccome $gamma*a_i=lambda |a_i|^2, gamma'*a_i=mu |a_i|^2$, ed essendo $a_i!=0$, questo è proprio la stessa cosa che richiedere i prodotti scalari di segno concorde.
Grazie mille dissonance, non avevo chiaro come formulare "stanno dalla stessa parte rispetto a $P_i$".
Adesso è chiaro, grazie ancora
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