Una domanda sull'individuare span e basi
Ciao a tutti gli utenti di questa sezione del forum.
Vi scrivo una domanda che mi pongo nel risolvere alcuni esercizi per questo esame di AL.
In realtà mi chiedo se ci sia un modo meno intuitivo e più rigoroso per fare quel che sto facendo dato che trovo una sfilza di esercizi simili nelle schede di autopreparazione.
In sostanza un esercizio tipo è quello dove: ho un sottospazio del tipo: ${(a,b,c,d);a+b=0}$
Dovendo trovarne una base ho pensato di trovare dapprima uno span di vettori (che in realtà ad occhio siano linearmente indipendenti) e poi provare a vedere se lo sono imponendo una condizione.
Quindi ho fatto: $(-b,b,c,d)=b(-1,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$
E poi verifico che sono indipendenti imponendo una equazione di essi con 3 coefficienti reali e vedrò che l'unico modo per ottenere il vettore nullo sarà appunto la combinazione di coefficienti zero e quindi sarà una base.
Non mi convince però la "Mossa intuitiva" con cui trovo i 3 vettori dello span, nel senso, qui è facile.... ma fossero più complessi sarei fregato? C'è un modo più rigoroso? Nessuno nel corso ha spiegato come fare al di là della teoria e cosa voglia dire linearmente dipendenti, span e generatori....
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La seconda domanda è sempre su un esercizio: ho 4 vettori in R-4 che sono parte di uno span lineare, mi si chiede di trovare dimensione e base, sinceramente non saprei se è corretto o meno:
Qui non posso fare il trick di prima di trovare lo span di vettori indipendenti (e quindi un sistema di generatori) e verificare che lo sono perché lo span mi viene già dato.
Ho pensato di fare una matrice con questi 4 vettori dati e ridurre, nel momento in cui trovo il rango minimo della matrice, le righe componenti la matrice ridotta saranno i vettori indipendenti che formano la base.
Però dallo studio della teoria non mi pare si dica da nessuna parte che dati dei generatori (che sono i vettori del mio span) sicuramente quando trovo n vettori da essi generati che sono linearmente indipendenti sicuramente saranno quegli n vettori una base.
Esiste un teorema del genere? Mi par proprio di no!
Anche perché ragionavo che se ho uno spazio di dimensione 3 magari combinando alcuni vettori dello span ne trovo due linearmente indipendenti e questo non mi garantisce che appunto lo spazio sia di dimensione 2, perché in realtà era 3. La matrice ridotta mi dice solo che quei due erano indipendenti tra quelli presi.
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Un'ultima domanda/curiosità: il problema è che nel corso la teoria è ben spiegata ma esercizi fatti proprio pochi e mi sento un attimo perso. Ma è normale si facciano così poco (faccio fisica)?
Anche l'eserciziario che ho comprato ha le soluzioni ma nulla di svolto quindi ha tipo utilità "zero". NOn so bene come fare a capire
Vi ringrazio.
Vi scrivo una domanda che mi pongo nel risolvere alcuni esercizi per questo esame di AL.
In realtà mi chiedo se ci sia un modo meno intuitivo e più rigoroso per fare quel che sto facendo dato che trovo una sfilza di esercizi simili nelle schede di autopreparazione.
In sostanza un esercizio tipo è quello dove: ho un sottospazio del tipo: ${(a,b,c,d);a+b=0}$
Dovendo trovarne una base ho pensato di trovare dapprima uno span di vettori (che in realtà ad occhio siano linearmente indipendenti) e poi provare a vedere se lo sono imponendo una condizione.
Quindi ho fatto: $(-b,b,c,d)=b(-1,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$
E poi verifico che sono indipendenti imponendo una equazione di essi con 3 coefficienti reali e vedrò che l'unico modo per ottenere il vettore nullo sarà appunto la combinazione di coefficienti zero e quindi sarà una base.
Non mi convince però la "Mossa intuitiva" con cui trovo i 3 vettori dello span, nel senso, qui è facile.... ma fossero più complessi sarei fregato? C'è un modo più rigoroso? Nessuno nel corso ha spiegato come fare al di là della teoria e cosa voglia dire linearmente dipendenti, span e generatori....
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La seconda domanda è sempre su un esercizio: ho 4 vettori in R-4 che sono parte di uno span lineare, mi si chiede di trovare dimensione e base, sinceramente non saprei se è corretto o meno:
Qui non posso fare il trick di prima di trovare lo span di vettori indipendenti (e quindi un sistema di generatori) e verificare che lo sono perché lo span mi viene già dato.
Ho pensato di fare una matrice con questi 4 vettori dati e ridurre, nel momento in cui trovo il rango minimo della matrice, le righe componenti la matrice ridotta saranno i vettori indipendenti che formano la base.
Però dallo studio della teoria non mi pare si dica da nessuna parte che dati dei generatori (che sono i vettori del mio span) sicuramente quando trovo n vettori da essi generati che sono linearmente indipendenti sicuramente saranno quegli n vettori una base.
Esiste un teorema del genere? Mi par proprio di no!
Anche perché ragionavo che se ho uno spazio di dimensione 3 magari combinando alcuni vettori dello span ne trovo due linearmente indipendenti e questo non mi garantisce che appunto lo spazio sia di dimensione 2, perché in realtà era 3. La matrice ridotta mi dice solo che quei due erano indipendenti tra quelli presi.
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Un'ultima domanda/curiosità: il problema è che nel corso la teoria è ben spiegata ma esercizi fatti proprio pochi e mi sento un attimo perso. Ma è normale si facciano così poco (faccio fisica)?
Anche l'eserciziario che ho comprato ha le soluzioni ma nulla di svolto quindi ha tipo utilità "zero". NOn so bene come fare a capire
Vi ringrazio.
Risposte
beh, se sei in $RR^4$ e hai questo sottospazio con la condizione che la prima componente e' l'opposto della seconda, allora i vettori di questo sottospazio sono generati (ad esempio) dal seguente sistema di generatori minimale (a.k.a base) $[-1,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1]$. Tale procedimento non e' stato fatto a occhio, ma imponendo a sistema $ { ( a=b ),( b= xi ),( c=t ),( d=nu ):} $ , con $xi,t,nu in RR$. Assegnando valori 'furbi' ai parametri liberi, rendendo cosi i vettori linearmente indipendenti, per esempio mettendo 1 e 0 gli altri ogni volta, e' possibile trovarne una base.
Per la seconda parte: posta il testo, cosi vediamo meglio come fare
No, bisogna farne molti perche' l'algebra lineare e' un prerequisito fondamentale, specie se fai fisica, matematica, o anche ingegneria. Non puoi non saperla
Per la seconda parte: posta il testo, cosi vediamo meglio come fare
"caterpig1":
Ma è normale si facciano così poco (faccio fisica)?
Anche l'eserciziario che ho comprato ha le soluzioni ma nulla di svolto quindi ha tipo utilità "zero".
No, bisogna farne molti perche' l'algebra lineare e' un prerequisito fondamentale, specie se fai fisica, matematica, o anche ingegneria. Non puoi non saperla
"caterpig1":
In sostanza un esercizio tipo è quello dove: ho un sottospazio del tipo: ${(a,b,c,d);a+b=0}$
Dovendo trovarne una base ho pensato di trovare dapprima uno span di vettori (che in realtà ad occhio siano linearmente indipendenti) e poi provare a vedere se lo sono imponendo una condizione.
Quindi ho fatto: $(-b,b,c,d)=b(-1,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$
E poi verifico che sono indipendenti imponendo una equazione di essi con 3 coefficienti reali e vedrò che l'unico modo per ottenere il vettore nullo sarà appunto la combinazione di coefficienti zero e quindi sarà una base.
Non mi convince però la "Mossa intuitiva" con cui trovo i 3 vettori dello span, nel senso, qui è facile.... ma fossero più complessi sarei fregato? C'è un modo più rigoroso? Nessuno nel corso ha spiegato come fare al di là della teoria e cosa voglia dire linearmente dipendenti, span e generatori....
Più che intuizione hai applicato la teoria inconsciamente
Semplicemente occorre svolgere il seguente sistema
${ ( a+b=0 ),( c in RR ),( d in RR ):}$
notare che si tratta di un sistema di una equazione in quattro incognite, di cui tre libere ($b,c,d$) e una dipendente ($a$), quindi avrai, per Kronecker-Rouché-Capelli, $oo^3$ soluzioni; ergo il tuo sottospazio ha dimensione $3$.
Pertanto la base sarà costituita da tre vettori, il primo vettore della tua base sarà dato dalla condizione imposta: $a+b=0$, quindi avrai
$((-b),(b),(0),(0))=b((-1),(1),(0),(0))$
Inoltre, per il teorema di estensione[nota]Se $dim(V)=n$ e ${v_1, ... v_r}$ è un insieme di vettori indipendenti con $r
$((0),(0),(1),(0))$
e un altro vettore l.i. indipendente dai precedenti è
$((0),(0),(0),(1))$
Oppure, se si vuole essere pignoli
${ ( a+b=0 ),( c in RR ),( d in RR ):} hArr ((-b),(b),(c),(d))=b((-1),(1),(0),(0))+c((0),(0),(1),(0))+d((0),(0),(0),(1))$
"caterpig1":
La seconda domanda è sempre su un esercizio: ho 4 vettori in R-4 che sono parte di uno span lineare, mi si chiede di trovare dimensione e base, sinceramente non saprei se è corretto o meno:
Qui non posso fare il trick di prima di trovare lo span di vettori indipendenti (e quindi un sistema di generatori) e verificare che lo sono perché lo span mi viene già dato.
Ho pensato di fare una matrice con questi 4 vettori dati e ridurre, nel momento in cui trovo il rango minimo della matrice, le righe componenti la matrice ridotta saranno i vettori indipendenti che formano la base.
Però dallo studio della teoria non mi pare si dica da nessuna parte che dati dei generatori (che sono i vettori del mio span) sicuramente quando trovo n vettori da essi generati che sono linearmente indipendenti sicuramente saranno quegli n vettori una base.
Esiste un teorema del genere? Mi par proprio di no!
Anche perché ragionavo che se ho uno spazio di dimensione 3 magari combinando alcuni vettori dello span ne trovo due linearmente indipendenti e questo non mi garantisce che appunto lo spazio sia di dimensione 2, perché in realtà era 3. La matrice ridotta mi dice solo che quei due erano indipendenti tra quelli presi.
Si può dimostrare che
$V$ spazio vettoriale, $dim(V)=n$
$v_1, ..., v_n$ generatori di $V$
Allora ${v_1, ..., v_n}$ è una base
Inoltre
$V$ spazio vettoriale, $dim(V)=n$
$v_1, ..., v_n$ l.i.
Allora ${v_1, ..., v_n}$ è una base
[ot]
"caterpig1":
Un'ultima domanda/curiosità: il problema è che nel corso la teoria è ben spiegata ma esercizi fatti proprio pochi e mi sento un attimo perso. Ma è normale si facciano così poco (faccio fisica)?
Anche l'eserciziario che ho comprato ha le soluzioni ma nulla di svolto quindi ha tipo utilità "zero". NOn so bene come fare a capire
Non so che argomenti tratterrete, ma questi due testi alternano teoria ed esercizi
Corso di algebra lineare; S. Giuffrida, A. Ragusa
Matrici e vettori - Corso di base di geometria e algebra lineare; F. Flamini, A. Verra[/ot]
Ok ci sono,
Per la prima domanda ora ci sono per quanto riguarda la dimensione ecc... Più che altro mi manca proprio la parte della teoria di come si impone quel sistema di volta in volta. Non mi è mai stato mostrato, in sostanza devo prendere le componenti del vettore e imporci le condizioni a seconda della descrizione insiemistica che ho.
Per la seconda domanda mi sono spiegato male, ma per non mischiare le cose prima risolviamo questa e poi mi rispiego, scusatemi
Grazie per l'aiuto!
Per la prima domanda ora ci sono per quanto riguarda la dimensione ecc... Più che altro mi manca proprio la parte della teoria di come si impone quel sistema di volta in volta. Non mi è mai stato mostrato, in sostanza devo prendere le componenti del vettore e imporci le condizioni a seconda della descrizione insiemistica che ho.
Per la seconda domanda mi sono spiegato male, ma per non mischiare le cose prima risolviamo questa e poi mi rispiego, scusatemi
Grazie per l'aiuto!
"caterpig1":
Per la prima domanda ora ci sono per quanto riguarda la dimensione ecc... Più che altro mi manca proprio la parte della teoria di come si impone quel sistema di volta in volta. Non mi è mai stato mostrato, in sostanza devo prendere le componenti del vettore e imporci le condizioni a seconda della descrizione insiemistica che ho.
Uno spazio vettoriale può essere definito in vari modi. Non capisco se il problema è la risoluzione di sistemi lineari o altro. In ogni caso è più comodo che posti di volta in volta, su topic distinti, i vari esercizi che ti recano noia (postando anche il ragionamento e lo svolgimento dell'esercizio ovviamente
); in questo modo la risposta è più diretta e immediata.Per cui passiamo al secondo dubbio!
Buongiorno a tutti
Allora ti rispondo subito Magma: il mio problema non è nella soluzione del sistema lineare, non avevo capito che si potesse impostare più che altro in tale modo
.
Non avendo traccia svolta e nemmeno scritto sulla teoria non ci ero arrivato Io di esercizi vorrei farne davvero tanti, come dite voi AL è importantissima per proseguire gli studi, ma sebbene la teoria la capisca poi applicarli mi trovo perso. All'uni si fa solo teoria e pochissimi esercizi purtroppo e mi trovo solo nel farli e mi incaglio spesso..
Passando alla seconda domanda:
Avevo scritto tutto in un solo thread perché pensavo fosse meglio, scusatemi! Mi sembrava di essere un rompip..... a farne più d'uno. Ma buono a sapersi per la prossima volta XD
Comunque tornando a noi,
dati i vettori $u1 = (1;-1;0;1); u2 = (2;1;1;0); u3 = (3;0;1;1); u4 = (0;1;-1;0)$
Trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale $L(u1;u2;u3;u4)$ (span).
Il mio problema è che sempre a intuito come sopra, forse, farei giusto ma non trovo riscontro nella teoria.
Metterei tutto in una matrice A4x4 e ridurrei con Gauss, trovato il rango allora direi quella è la dimensione. (Invece che Gauss posso anche trovare se det(A) è diverso da zero o uguale).
Ma non mi pare di aver mai letto nulla che dice che, avendo uno span e il sistema di generatori ad esso correlato se io prendo quei vettori e li riduco trovo la dimensione. Nel senso chi mi assicura che trovo proprio il massimale di vettori linearmente indipendenti. La matrice ridotta mi assicura solo che essi siano linearmente indipendenti ma non che abbia proprio il massimo di vettori linearmente indipendenti che siano base di quello spazio.
Buon sabato a tutti.
Allora ti rispondo subito Magma: il mio problema non è nella soluzione del sistema lineare, non avevo capito che si potesse impostare più che altro in tale modo
.Non avendo traccia svolta e nemmeno scritto sulla teoria non ci ero arrivato
Io di esercizi vorrei farne davvero tanti, come dite voi AL è importantissima per proseguire gli studi, ma sebbene la teoria la capisca poi applicarli mi trovo perso. All'uni si fa solo teoria e pochissimi esercizi purtroppo e mi trovo solo nel farli e mi incaglio spesso..Passando alla seconda domanda:
Avevo scritto tutto in un solo thread perché pensavo fosse meglio, scusatemi! Mi sembrava di essere un rompip..... a farne più d'uno. Ma buono a sapersi per la prossima volta XD
Comunque tornando a noi,
dati i vettori $u1 = (1;-1;0;1); u2 = (2;1;1;0); u3 = (3;0;1;1); u4 = (0;1;-1;0)$
Trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale $L(u1;u2;u3;u4)$ (span).
Il mio problema è che sempre a intuito come sopra, forse, farei giusto ma non trovo riscontro nella teoria.
Metterei tutto in una matrice A4x4 e ridurrei con Gauss, trovato il rango allora direi quella è la dimensione. (Invece che Gauss posso anche trovare se det(A) è diverso da zero o uguale).
Ma non mi pare di aver mai letto nulla che dice che, avendo uno span e il sistema di generatori ad esso correlato se io prendo quei vettori e li riduco trovo la dimensione. Nel senso chi mi assicura che trovo proprio il massimale di vettori linearmente indipendenti. La matrice ridotta mi assicura solo che essi siano linearmente indipendenti ma non che abbia proprio il massimo di vettori linearmente indipendenti che siano base di quello spazio.
Buon sabato a tutti.
"caterpig1":
Buongiorno a tutti
Allora ti rispondo subito Magma: il mio problema non è nella soluzione del sistema lineare, non avevo capito che si potesse impostare più che altro in tale modo
Non avendo traccia svolta e nemmeno scritto sulla teoria non ci ero arrivato
Passando alla seconda domanda:
Avevo scritto tutto in un solo thread perché pensavo fosse meglio, scusatemi! Mi sembrava di essere un rompip..... a farne più d'uno. Ma buono a sapersi per la prossima volta XD
Comunque tornando a noi,
dati i vettori $u1 = (1;-1;0;1); u2 = (2;1;1;0); u3 = (3;0;1;1); u4 = (0;1;-1;0)$
Trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale $L(u1;u2;u3;u4)$ (span).
Il mio problema è che sempre a intuito come sopra, forse, farei giusto ma non trovo riscontro nella teoria.
Metterei tutto in una matrice A4x4 e ridurrei con Gauss, trovato il rango allora direi quella è la dimensione. (Invece che Gauss posso anche trovare se det(A) è diverso da zero o uguale).
Ma non mi pare di aver mai letto nulla che dice che, avendo uno span e il sistema di generatori ad esso correlato se io prendo quei vettori e li riduco trovo la dimensione. Nel senso chi mi assicura che trovo proprio il massimale di vettori linearmente indipendenti. La matrice ridotta mi assicura solo che essi siano linearmente indipendenti ma non che abbia proprio il massimo di vettori linearmente indipendenti che siano base di quello spazio.
Buon sabato a tutti.
Vorrei fare un piccolo up per Magma o chiunque voglia cimentarsi nella spiegazione, non odiatemi
Vi ringrazio ancora.
"caterpig1":
Comunque tornando a noi,
dati i vettori
${u_1,u_2,u_3,u_4} = {((1),(-1),(0),(1)),((2),(1),(1),(0)),((3),(0),(1),(1)),((0),(1),(-1),(0))}$
Trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale $V=mathcal(L){u_1, u_2, u_3, u_4}$
Il mio problema è che sempre a intuito come sopra, forse, farei giusto ma non trovo riscontro nella teoria.
Metterei tutto in una matrice $A$ $4xx4$ e ridurrei con Gauss, trovato il rango allora direi quella è la dimensione.
(Invece che Gauss posso anche trovare se $det(A)$ è diverso da zero o uguale).
"caterpig1":
Ma non mi pare di aver mai letto nulla che dice che, avendo uno span e il sistema di generatori ad esso correlato se io prendo quei vettori e li riduco trovo la dimensione. Nel senso chi mi assicura che trovo proprio il massimale di vettori linearmente indipendenti. La matrice ridotta mi assicura solo che essi siano linearmente indipendenti ma non che abbia proprio il massimo di vettori linearmente indipendenti che siano base di quello spazio.
"Magma":
Si può dimostrare che
$V$ spazio vettoriale, $dim(V)=n$
$v_1, ..., v_n$ generatori di $V hArr V=mathcal(L){v_1, ..., v_n}$
Allora ${v_1, ..., v_n}$ è una base
Inoltre$V$ spazio vettoriale, $dim(V)=n$
$v_1, ..., v_n$ linearmente indipendenti
Allora ${v_1, ..., v_n}$ è una base
Questi due risultati sono conseguenza del lemma di Steinitz[nota]Il lemma di Steinitz afferma che, se $dim(V)=n$ e se $r$ è il numero di vettori indipendenti, allora $r<=n$[/nota]. Potresti provare a dimostrarli
Quindi se hai un insieme di generatori ed elimini quelli che sono C.L., ottieni un insieme di generatori l.i.; ergo hai una base.
Viceversa, essendo $dim(V)=n$, se hai $n$ vettori indipendenti, questi costituiscono una base.
P.S.: cerca di essere più ordinato
Grazie
Però il mio dubbio nasce proprio qui, mi spiego meglio: mettiamo che mi vengano dati 6 vettori $u_i, i=1,...,6$ e che siano di $R^6$, io so che $R^6$ ha dimensione 6, ma in questo caso lo span potrebbe generarmi un sottospazio di dimensione minore (perché magari alcuni dei 6 dati sono linearmente dipendenti dagli altri). In altre parole questi 6 vettori sono generatori e hanno il loro span che genera un certo sottospazio.
Dopo la riduzione infatti vedo che 3 di questi sono linearmente dipendenti. E 3 sono indipendenti.
Il problema è che non riesco ad applicare quanto mi dici sopra perché il teorema afferma "se hai uno spazio di dimensione 3 e 3 vettori sono generatori del sottospazio di dimensione 3 allora hai trovato una base". Però, per quanto so, riducendo ho trovato solo 3 generatori indipendenti, ma chi mi garantisce che siamo in un sottospazio dimensione 3 chiesto dall'ipotesi dei due enunciati per essere applicati? Potrei essere in dimensione 4, nessuno me lo assicura.
Mi sfugge questo primo punto e poi un altro conseguente.
Ma andiamo per gradi...
Avanzo una risposta: forse perché riducendoli e trovandone tre indipendenti questo vuol dire che gli altri 3 sono dipendenti e quindi posso scriverli come combinazione lineare dei 3 trovati e quindi fanno parte del suo span. A questo punto ho trovato un sistema di 3 generatori e che sono tra loro indipendenti (di cui lo span $(u1;u2;u3;u4;u5;u6)$ ne è una semplice riscrittura) e quindi la base è 3. Questo induce che essendo il numero dei vettori di una qualunque base di un sottospazio uguale per tutte le basi che è la dimensione, la dimensione del sottospazio è appunto 3.
Però mi pare di procedere a ritroso rispetto a quanto cercavi di instradarmi
Ti ringrazio per l'aiuto.
PS Perdonami, cercherò di essere più ordinato
"Magma":
Si può dimostrare che
$V$ spazio vettoriale, $dim(V)=n$
$v_1, ..., v_n$ generatori di $V hArr V=mathcal(L){v_1, ..., v_n}$
Allora ${v_1, ..., v_n}$ è una base
Inoltre$V$ spazio vettoriale, $dim(V)=n$
$v_1, ..., v_n$ linearmente indipendenti
Allora ${v_1, ..., v_n}$ è una base
Però il mio dubbio nasce proprio qui, mi spiego meglio: mettiamo che mi vengano dati 6 vettori $u_i, i=1,...,6$ e che siano di $R^6$, io so che $R^6$ ha dimensione 6, ma in questo caso lo span potrebbe generarmi un sottospazio di dimensione minore (perché magari alcuni dei 6 dati sono linearmente dipendenti dagli altri). In altre parole questi 6 vettori sono generatori e hanno il loro span che genera un certo sottospazio.
Dopo la riduzione infatti vedo che 3 di questi sono linearmente dipendenti. E 3 sono indipendenti.
Il problema è che non riesco ad applicare quanto mi dici sopra perché il teorema afferma "se hai uno spazio di dimensione 3 e 3 vettori sono generatori del sottospazio di dimensione 3 allora hai trovato una base". Però, per quanto so, riducendo ho trovato solo 3 generatori indipendenti, ma chi mi garantisce che siamo in un sottospazio dimensione 3 chiesto dall'ipotesi dei due enunciati per essere applicati? Potrei essere in dimensione 4, nessuno me lo assicura.
Mi sfugge questo primo punto e poi un altro conseguente.
Ma andiamo per gradi...
Avanzo una risposta: forse perché riducendoli e trovandone tre indipendenti questo vuol dire che gli altri 3 sono dipendenti e quindi posso scriverli come combinazione lineare dei 3 trovati e quindi fanno parte del suo span. A questo punto ho trovato un sistema di 3 generatori e che sono tra loro indipendenti (di cui lo span $(u1;u2;u3;u4;u5;u6)$ ne è una semplice riscrittura) e quindi la base è 3. Questo induce che essendo il numero dei vettori di una qualunque base di un sottospazio uguale per tutte le basi che è la dimensione, la dimensione del sottospazio è appunto 3.
Però mi pare di procedere a ritroso rispetto a quanto cercavi di instradarmi
Ti ringrazio per l'aiuto.
PS Perdonami, cercherò di essere più ordinato
Adesso non ho tempo per rispondere in modo più approfondito.
Comunque nota che una base è definita come un insieme di generatori l.i. (i.e. un insieme di vettori che sono sia generatori che l.i.).
Quindi se hai un insieme di $n$ generatori ($V=mathcal(L){v_1,..., v_n}$) e questi sono indipendenti allora ${v_1,..., v_n}$ è una base; per cui hai, per definizione di dimensione, che $dim(V)=n$.
Se gli $n$ generatori non sono l.i., uno di essi può essere scritto come C.L. dei rimanenti e, per il lemma di eliminazione, può essere scartato. Ora, se gli $n-1$ generatori sono l.i. hai trovato una base di $V$ e $dim(V)=n-1$; altrimenti ripeti il procedimento fino a trovare $r$ generatori indipendenti che costituiranno una base di $V$ con $dim(V)=r$.
Domani, tempo concedendo, cercherò di essere più esaustivo; spero intanto che ciò possa esserti un minimo d'aiuto
Comunque nota che una base è definita come un insieme di generatori l.i. (i.e. un insieme di vettori che sono sia generatori che l.i.).
Quindi se hai un insieme di $n$ generatori ($V=mathcal(L){v_1,..., v_n}$) e questi sono indipendenti allora ${v_1,..., v_n}$ è una base; per cui hai, per definizione di dimensione, che $dim(V)=n$.
Se gli $n$ generatori non sono l.i., uno di essi può essere scritto come C.L. dei rimanenti e, per il lemma di eliminazione, può essere scartato. Ora, se gli $n-1$ generatori sono l.i. hai trovato una base di $V$ e $dim(V)=n-1$; altrimenti ripeti il procedimento fino a trovare $r$ generatori indipendenti che costituiranno una base di $V$ con $dim(V)=r$.
Domani, tempo concedendo, cercherò di essere più esaustivo; spero intanto che ciò possa esserti un minimo d'aiuto
Grazie davvero, intanto ci ragiono un po' su
Buona serata.
EDIT: sono stanco ammetto dopo una giornata di studio full-immersion, però mi pare tu abbia espresso con maggior rigore quanto dicevo in calce all'ultimo messaggio.
Forse il punto mio di incertezza stava nella riduzione per riga: in sostanza quando riduco per riga e la matrice di esempio 6x6 diviene di rango 3, questo vuol dire che le altre 3 righe posso scriverle come combinazione lineare di quelle 3 che mi determinano il rango.
L'ho applicato a un esempio pratico ma mi pare quel che mi stavi spiegando, se così fosse dovrei aver capito...Eureka (si spera)
Buona serata.
EDIT: sono stanco ammetto dopo una giornata di studio full-immersion, però mi pare tu abbia espresso con maggior rigore quanto dicevo in calce all'ultimo messaggio.
Forse il punto mio di incertezza stava nella riduzione per riga: in sostanza quando riduco per riga e la matrice di esempio 6x6 diviene di rango 3, questo vuol dire che le altre 3 righe posso scriverle come combinazione lineare di quelle 3 che mi determinano il rango.
L'ho applicato a un esempio pratico ma mi pare quel che mi stavi spiegando, se così fosse dovrei aver capito...Eureka
(si spera)
Def. Base
$V$ spazio vettoriale, $v_1,...,v_n in V$
Si dice che l'insieme costituito da $v_1,...,v_n$ è una base di $V$ se:
$1)$ $v_1,...,v_n$ sono l.i.
$2)$ $v_1,...,v_n$ generano $V$[nota]$mathcal(L){v_1,...,v_n}=V$[/nota]
Teorema esistenza delle basi
$V$ spazio vettoriale finitamente generato,
se $V ne {0}$, allora $V$ ha basi!
La dimostrazione è la seguente:
Se $V$ è finitamente generato ha un numero finito di generatori $v_1,..., v_n$.
Si prova che $v_1,..., v_n$ contiene una base di $V$
Se l'insieme $v_1,..., v_n$ è l.i. allora $ {v_1,..., v_n} $ è una base di $V$. Colpito e affondato!
Se invece $v_1,..., v_n$ sono l.d., uno di essi, per la caratterizzazione di vettori l.d., può essere scritto come C.L. dei rimanenti e, per il lemma di eliminazione, $v_1,..., v_(n-1)$ sono generatori di $V$.
Ora, se $v_1,..., v_(n-1)$ sono l.i. essi costituiscono una base di $ V $; altrimenti uno di loro è C.L. dei rimanenti e si scarta e così si trova un insieme di generatori con $n-2$ vettori.
Nella peggiore delle ipotesi, dopo un numero finito di passaggi, trovo che $V$ è generato da un solo generatore $v_i$ e, poiché un vettore non nullo, preso da solo, è l.i., allora ${v_i}$ è la base di $V$ cercata.
Si prova che $v_1,..., v_n$ contiene una base di $V$
Se l'insieme $v_1,..., v_n$ è l.i. allora $ {v_1,..., v_n} $ è una base di $V$. Colpito e affondato!
Se invece $v_1,..., v_n$ sono l.d., uno di essi, per la caratterizzazione di vettori l.d., può essere scritto come C.L. dei rimanenti e, per il lemma di eliminazione, $v_1,..., v_(n-1)$ sono generatori di $V$.
Ora, se $v_1,..., v_(n-1)$ sono l.i. essi costituiscono una base di $ V $; altrimenti uno di loro è C.L. dei rimanenti e si scarta e così si trova un insieme di generatori con $n-2$ vettori.
Nella peggiore delle ipotesi, dopo un numero finito di passaggi, trovo che $V$ è generato da un solo generatore $v_i$ e, poiché un vettore non nullo, preso da solo, è l.i., allora ${v_i}$ è la base di $V$ cercata.
sfruttando questi due ingredienti:
[ot]
Caratterizzazione della dipendenza lineare
$V$ spazio vettoriale, consideriamo i vettori $v_1,...,v_n in V$. Le seguenti condizioni sono equivalenti
$1)$ $v_1,...,v_n$ sono linearmente dipendenti
$2)$ uno dei vettori $v_1,...,v_n$ è C.L. dei rimanenti.
Lemma di eliminazione[/ot]
$V$ spazio vettoriale finitamente generato, $v_1,...,v_n$ generatori di $V$
supponiamo che $v_n$ sia C.L. di $v_1,...,v_(n-1)$
Allora $v_1,...,v_(n-1)$ sono ancora generatori di $V$
"caterpig1":
in sostanza quando riduco per riga e la matrice di esempio $6xx6$ diviene di rango $3$, questo vuol dire che le altre tre righe posso scriverle come combinazione lineare di quelle tre che mi determinano il rango.
Giusta osservazione!
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