Una derivazione (strana?) di \( \dim U^\perp \)

[marco2132k]

Sia \( V \) uno spazio vettoriale sul campo \( C \), di dimensione finita. Sia \( g\colon V\times V\to C \) bilineare e simmetrica/alternate, e sia \( g_1\colon V\to V^* \) l'isomorfismo (uno dei due, tanto è uguale) tra \( V \) e il suo duale indotto da \( g \). Dato un sottospazio \( U \) di \( V \) non degenere, il suo ortogonale \( U^\perp \) rispetto alla forma \( g \) si scrive come intersezione \( U^\perp = \bigcap_{u\in U}\operatorname{Ker}{g_1(u)} \), dove le \( g_1(u) \) rangiano in un( sott)o spazio (di \( V^* \)) di dimensione \( \dim_C U \) (perché \(U \) è assunto non degenere, e quindi la restrizione \( {g_1}{\restriction_U} \) ha nucleo banale); perché se ne dovrebbe dedurre che \( \dim_C U^\perp = \dim_C V - \dim_C U \)?

Quella cosa è certamente vera btw, ma la dimostrazione che conosco io è diversa.

[fulcanelli]

Stai intersecando i $k$ iperpiani \(g_1u=0\), se k è la dimensione di U. Allora, lo spazio definito come la loro intersezione ha dimensione \(n-k\).

[marco2132k]

Sì è vero lol se \( u \) e \( u^\prime \) sono linearmente dipendenti in \( U \) allora \( \operatorname{Ker}{g_1(u)} = \operatorname{Ker}{g_1}(u^\prime) \).

[marco2132k]

Però scusa chi mi dice che tutti i \( \operatorname{Ker}\xi \) al variare di \( \xi \) in una base di \( \operatorname{Im}(g_1{\restriction_U}) \) sono distinti? Questo non è necessario per concludere la dimostrazione, perché (per \( \dim_C U = k \) e \( \dim_C V = n \)) si ha comunque \( \dim_C U^\perp\geqq n - k \) constatando che \( \bigcap_{u\in U}\operatorname{Ker}{g_1(u)} \) è un'intersezione di al più \( k \) iperpiani, ma...