Una coninca ha un punto doppio se e solo se è riducibile
Buongiorno ragazzi, qualcuno mi può aiutare con questa dimostrazione ?
"Una conica ha un punto doppio se e solo se è riducibile" Non riesco a trovarla e non riesco proprio a capire come potrei dimostrare questo teorema. Grazie mille in anticipo
"Una conica ha un punto doppio se e solo se è riducibile" Non riesco a trovarla e non riesco proprio a capire come potrei dimostrare questo teorema. Grazie mille in anticipo
Risposte
Qual è la definizione di punto doppio per una conica?
La richiesta è riferita a curve affini o proiettive? Reali o complesse?
Piano proiettivo complesso. Nel piano affine (reale o complesso) non vale, la conica $x(x+1)$ è riducibile senza punti singolari. Non vale nemmeno nel piano proiettivo reale perché $x^2 + y^2$ ha l'origine come punto doppio, ma non è riducibile.
Singolarità implica riducibilità
Consideriamo una conica $f(x,y) = ax^2 + 2bxy + cy^2+2dx + 2ey + f$ in affine (restrizione affine della conica proiettiva). Se il punto (x,y) della conica è singolare allora:
$f_x(x,y)=0 \Leftrightarrow ax + by + d = 0$
$f_y(x,y)=0 \Leftrightarrow bx + cy + e = 0$
Il sistema precedente ha soluzione se e solo se la matrice dei coefficienti e la matrice dei coefficienti e dei termini noti hanno stesso rango, quindi ci sono $2$ casi perché almeno uno fra $a,b,c$ è non nullo. Posso supporre senza perdita di generalità $b=0$ (a meno di affinità).
RANGO $1$
\[ rg \left( \begin{array}{ccc}
a & 0 & d \\
0 & c & e \end{array} \right) = 1
\]
Quella considerata è una sottomatrice della matrice associata alla conica, quindi tale matrice ha rango al più $2$ e la conica risulta degenere. Ogni conica degenere è riducibile nel piano proiettivo complesso
RANGO $2$
Supponiamo per assurdo che questa situazione si possa avere con una conica generale. Tale conica non sarebbe una parabola perché si ha $ac \ne 0$ (per il rango), quindi posso supporre a meno di traslazioni che i termini $d,e$ siano nulli. L'unica soluzione del sistema risulta essere dunque $(0,0)$ che appartiene alla conica se e solo se $f=0$. Ci siamo ridotti alla conica $ax^2 + cy^2$ che è riducibile ($(\alpha x+i\gamma y)(\alpha x-i\gamma y)$ con $\alpha,\gamma$ tali che $\alpha^2=a, \gamma^2=c$).
Questo ragionamento porta alla tesi per ogni possibile restrizione affine della conica proiettiva.
Riducibilità implica singolarità
D'altra parte se una conica è riducibile si scompone in due rette, che si intersecano sempre in almeno un punto nel piano proiettivo. Tale punto sarà doppio per la conica.
Si può dimostrare però che, anche nel piano affine, una conica è DEGENERE se e solo se non ammette punti singolari. La dimostrazione è molto simile a questa, ma un pochino più semplice.
Singolarità implica riducibilità
Consideriamo una conica $f(x,y) = ax^2 + 2bxy + cy^2+2dx + 2ey + f$ in affine (restrizione affine della conica proiettiva). Se il punto (x,y) della conica è singolare allora:
$f_x(x,y)=0 \Leftrightarrow ax + by + d = 0$
$f_y(x,y)=0 \Leftrightarrow bx + cy + e = 0$
Il sistema precedente ha soluzione se e solo se la matrice dei coefficienti e la matrice dei coefficienti e dei termini noti hanno stesso rango, quindi ci sono $2$ casi perché almeno uno fra $a,b,c$ è non nullo. Posso supporre senza perdita di generalità $b=0$ (a meno di affinità).
RANGO $1$
\[ rg \left( \begin{array}{ccc}
a & 0 & d \\
0 & c & e \end{array} \right) = 1
\]
Quella considerata è una sottomatrice della matrice associata alla conica, quindi tale matrice ha rango al più $2$ e la conica risulta degenere. Ogni conica degenere è riducibile nel piano proiettivo complesso
RANGO $2$
Supponiamo per assurdo che questa situazione si possa avere con una conica generale. Tale conica non sarebbe una parabola perché si ha $ac \ne 0$ (per il rango), quindi posso supporre a meno di traslazioni che i termini $d,e$ siano nulli. L'unica soluzione del sistema risulta essere dunque $(0,0)$ che appartiene alla conica se e solo se $f=0$. Ci siamo ridotti alla conica $ax^2 + cy^2$ che è riducibile ($(\alpha x+i\gamma y)(\alpha x-i\gamma y)$ con $\alpha,\gamma$ tali che $\alpha^2=a, \gamma^2=c$).
Questo ragionamento porta alla tesi per ogni possibile restrizione affine della conica proiettiva.
Riducibilità implica singolarità
D'altra parte se una conica è riducibile si scompone in due rette, che si intersecano sempre in almeno un punto nel piano proiettivo. Tale punto sarà doppio per la conica.
Si può dimostrare però che, anche nel piano affine, una conica è DEGENERE se e solo se non ammette punti singolari. La dimostrazione è molto simile a questa, ma un pochino più semplice.
Dal titolo, io suppongo implicitamente che siamo in \(\displaystyle\mathbb{CP}^2\).
@Giuseppe Senza offesa, ma la fai proprio complicata...
@Giuseppe Senza offesa, ma la fai proprio complicata...
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