Una circonferenza non è un sottospazio vettoriale
Presa una qualunque circonferenza in $RR^2$ voglio dimostrare che questa non sia un sottospazio vettoriale.
Poichè è necessario che contenga $\vec 0$ posso fare riferimento a una circonferenze $C$ del tipo $x^2 + y^2 + ax + by = 0$ . Dimostro che non si ha la chiusura della moltiplicazione per scalare.
Dato $t$ individuo un vettore $(t, (b \pm sqrt(t^2 - at))/2 )$ . Moltiplico il vettore per scalare $\lambda$ e ottengo $(\lambda t, \lambda (b \pm sqrt(t^2 - at))/2) $ , ma questo non appartiene più alla circonferenza : infatti il vettore sulla circonferenza individuato da $\lamda t$ (ammesso che sia un valore accettabile) sarebbe $(\lamda t, (b \pm sqrt((\lamda t)^2 - \lamda at))/2 )$ . Dunque non si ha la chiusura della moltiplicazione per scalare. E' corretto?
Grazie
Poichè è necessario che contenga $\vec 0$ posso fare riferimento a una circonferenze $C$ del tipo $x^2 + y^2 + ax + by = 0$ . Dimostro che non si ha la chiusura della moltiplicazione per scalare.
Dato $t$ individuo un vettore $(t, (b \pm sqrt(t^2 - at))/2 )$ . Moltiplico il vettore per scalare $\lambda$ e ottengo $(\lambda t, \lambda (b \pm sqrt(t^2 - at))/2) $ , ma questo non appartiene più alla circonferenza : infatti il vettore sulla circonferenza individuato da $\lamda t$ (ammesso che sia un valore accettabile) sarebbe $(\lamda t, (b \pm sqrt((\lamda t)^2 - \lamda at))/2 )$ . Dunque non si ha la chiusura della moltiplicazione per scalare. E' corretto?
Grazie
Risposte
Così di impatto mi verrebbe da dire che la tua radice non è detto esista.
Infatto raccogliendo: $lambdat(t-a)$, a priori non è un numero positivo, e dunque questo viola la condizione sul radicando, visto che stiamo lavorando in $RR$. Ottieni così un assurdo e questo deriva dall'aver supposto che valga la moltiplicazione per scalare.
Ad ogni modo, era priù immediato verificare la chiusura per la somma di due vettori dello spazio
Spero di non aver preso cantonate vista l'ora...
Infatto raccogliendo: $lambdat(t-a)$, a priori non è un numero positivo, e dunque questo viola la condizione sul radicando, visto che stiamo lavorando in $RR$. Ottieni così un assurdo e questo deriva dall'aver supposto che valga la moltiplicazione per scalare.
Ad ogni modo, era priù immediato verificare la chiusura per la somma di due vettori dello spazio
Spero di non aver preso cantonate vista l'ora...
Intendi $sqrt (\lamda t (\lamda t - a))$ ? Ma anche supponendo che esista non andrebbe bene come dimostrazione?
Per la somma come faresti?
Grazie
Per la somma come faresti?
Grazie
Secondo me l'assurdo deriva dall'aver supposto che la circonferenza contenga lo zero; infatti la forma affine di una circonferenza (ellisse) non degenere è: $x^2+y^2=1$, e, come si può notare lo zero non è contenuto; mentre per una circonferenza degenere si ha $x^2+y^2=0$.
Ma una circonferenza con termine noto pari a 0 del tipo $x^2 + y^2 + ax + by = 0$ contiene lo zero no?
Per prima cosa devi scrivere la formula per una circonferenza non degenere qualsiasi, ovvero:
\(\displaystyle (x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2 \) o equivalentemente \(\displaystyle x^2 + y^2 -2\alpha x -2\beta y + \alpha^2 + \beta^2 = r^2 \) con \(\displaystyle \alpha,\beta\in\mathbb{R} \) e \(\displaystyle r \in \mathbb{R}^{+} \)
Richiedendo il passaggio per 0 si ricava l'equazione \(\displaystyle \alpha^2 + \beta^2 = r^2 \). Quindi sicuramente le circonferenze che non rispettano questa equazione non sono sottospazi vettoriali. Possiamo quindi restringere la nostra attenzione alle circonferenze che rispettano quella equazione ricavando: \(\displaystyle x^2 + y^2 -2\alpha x -2\beta y = 0 \).
Osserviamo quindi che la generica circonferenza di quel tipo passa per il punto \(\displaystyle P = (2\alpha,2\beta) \), infatti \(\displaystyle 4\alpha^2 + 4\beta^2 -4\alpha^2 - 4\beta^2 = 0 \). D'altra parte non passa per \(\displaystyle (\alpha,\beta) = \frac{(2\alpha, 2\beta)}{2} = \frac{P}{2} \) infatti \(\displaystyle \alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha^2 - 2\beta^2 = \alpha^2 + \beta^2 = r^2 > 0 \). Quindi non rispetta gli assiomi degli spazi vettoriali.
Non serve usare elementi qualsiasi, cerca i controesempi più immediati.
\(\displaystyle (x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2 \) o equivalentemente \(\displaystyle x^2 + y^2 -2\alpha x -2\beta y + \alpha^2 + \beta^2 = r^2 \) con \(\displaystyle \alpha,\beta\in\mathbb{R} \) e \(\displaystyle r \in \mathbb{R}^{+} \)
Richiedendo il passaggio per 0 si ricava l'equazione \(\displaystyle \alpha^2 + \beta^2 = r^2 \). Quindi sicuramente le circonferenze che non rispettano questa equazione non sono sottospazi vettoriali. Possiamo quindi restringere la nostra attenzione alle circonferenze che rispettano quella equazione ricavando: \(\displaystyle x^2 + y^2 -2\alpha x -2\beta y = 0 \).
Osserviamo quindi che la generica circonferenza di quel tipo passa per il punto \(\displaystyle P = (2\alpha,2\beta) \), infatti \(\displaystyle 4\alpha^2 + 4\beta^2 -4\alpha^2 - 4\beta^2 = 0 \). D'altra parte non passa per \(\displaystyle (\alpha,\beta) = \frac{(2\alpha, 2\beta)}{2} = \frac{P}{2} \) infatti \(\displaystyle \alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha^2 - 2\beta^2 = \alpha^2 + \beta^2 = r^2 > 0 \). Quindi non rispetta gli assiomi degli spazi vettoriali.
Non serve usare elementi qualsiasi, cerca i controesempi più immediati.
La circonferenza non è a centro $Gamma: x^2 + y^2 + ax + by = 0 $
Per determinare la traslazione necessaria per ottenere l'equazione ridotta usiamo il completamento dei quadrati[nota]Il centro si può trovare in modo più sbrigativo così $C=(-a/2,-b/2)$, però ho usato il completamento dei quadrati perché secondo me più esemplificativo![/nota]
Per portare la nostra $Gamma$ al centro, effettuiamo la traslazione:
Ottenendo
posto $(a/2)^2+(b/2)^2=r$ e considerato l'insieme $A={z,w in RR : z^2+w^2=r}$, una circonferenza è definita per $r>0$, quindi preso $(z,w)=(0,0)$ si ha che $(0,0)$ non appartiene all'insieme $A$.
EDIT: @Vict85: Ci ho messo un po' per scrivere, perché facevo anche altro, e non ho visto che avevi già risposto
Per determinare la traslazione necessaria per ottenere l'equazione ridotta usiamo il completamento dei quadrati[nota]Il centro si può trovare in modo più sbrigativo così $C=(-a/2,-b/2)$, però ho usato il completamento dei quadrati perché secondo me più esemplificativo![/nota]
$ x^2 + y^2 + ax + by=$
$(x+a/2)^2-(a/2)^2+(y+b/2)^2-(b/2)^2=$
$(x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a/2)^2+(b/2)^2$
$(x+a/2)^2-(a/2)^2+(y+b/2)^2-(b/2)^2=$
$(x+a/2)^2+(y+b/2)^2=(a/2)^2+(b/2)^2$
Per portare la nostra $Gamma$ al centro, effettuiamo la traslazione:
${ ( x=z+a/2 ),( y=w+b/2 ):} rArr { ( z=x-a/2 ),( w=y-b/2 ):}$
Ottenendo
$Gamma': z^2+w^2=(a/2)^2+(b/2)^2$
posto $(a/2)^2+(b/2)^2=r$ e considerato l'insieme $A={z,w in RR : z^2+w^2=r}$, una circonferenza è definita per $r>0$, quindi preso $(z,w)=(0,0)$ si ha che $(0,0)$ non appartiene all'insieme $A$.
EDIT: @Vict85: Ci ho messo un po' per scrivere, perché facevo anche altro, e non ho visto che avevi già risposto
@Magma : non preoccuparti, esistono moltissimi modi per dimostrare questa cosa. Per esempio se si parte dal fatto che per ogni punto devi avere l'inverso allora imponi che il centro sia in 0 e quindi dimostri che non è uno spazio vettoriale osservando che 0 non è incluso.
Okay grazie mille, ho capito. 
Ciò che ho scritto io pensate comunque che non sia corretto (esclusa l'esistenza della radice)? Non il caso generale di ciò che ha scritto @Vict85 ?
Ad esempio, caso più semplice, se dovessi dimostrare che una parabola del tipo $ y = x^2 $ non è un sottospazio in $RR^2$ per vedere che non sia ha la chiusura per prodotto scalare prenderei un generico vettore $\vec P = (t, t^2) $ moltiplico per $\lamda$ e ottengo $\lamda \vec P = (\lamda t, \lamda t^2)$ che non appartiene più alla parabola; per appartenerle avrebbe dovuto essere del tipo $(\lamda t, (\lamda t)^2)$ . Questo è ciò che intendevo nel primo messaggio.
Ciò che ho scritto io pensate comunque che non sia corretto (esclusa l'esistenza della radice)? Non il caso generale di ciò che ha scritto @Vict85 ?
Ad esempio, caso più semplice, se dovessi dimostrare che una parabola del tipo $ y = x^2 $ non è un sottospazio in $RR^2$ per vedere che non sia ha la chiusura per prodotto scalare prenderei un generico vettore $\vec P = (t, t^2) $ moltiplico per $\lamda$ e ottengo $\lamda \vec P = (\lamda t, \lamda t^2)$ che non appartiene più alla parabola; per appartenerle avrebbe dovuto essere del tipo $(\lamda t, (\lamda t)^2)$ . Questo è ciò che intendevo nel primo messaggio.
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