Un ultimo esercizio di algebra lineare
Sto cercando di imparare a costruire le applicazioni lineari, con scarso successo. L'ultimo esercizio che ho deciso di fare è:
Considerare i seguenti sottoinsiemi delle matrici $RR_2$
$U = ((a,a),(b,b))$ $V = Span ( ( (0,2),(2,2))) , (((-1,0),(0,0)) )$
Cistruire una applicazione lineare $f: RR_2 --- RR_2$
il nucleo sia l'intersezione di U e V
$Im f = U + V$
Allora per prima cosa ho scoperto che U + V = $Span (((0,2),(2,2))$ , $((-1,0),(0,0))$, $((1,1),(0,0)))$ e che l'intersezione è $Span (((1,1),(1,1)))$ Però ora non so come procedere.
Considerare i seguenti sottoinsiemi delle matrici $RR_2$
$U = ((a,a),(b,b))$ $V = Span ( ( (0,2),(2,2))) , (((-1,0),(0,0)) )$
Cistruire una applicazione lineare $f: RR_2 --- RR_2$
il nucleo sia l'intersezione di U e V
$Im f = U + V$
Allora per prima cosa ho scoperto che U + V = $Span (((0,2),(2,2))$ , $((-1,0),(0,0))$, $((1,1),(0,0)))$ e che l'intersezione è $Span (((1,1),(1,1)))$ Però ora non so come procedere.
Risposte
a me il nucleo viene diverso cioè è generato dal vettore $((2,-1),(2,2))$ ma comunque sempre uno dimensionale.
beh allora hai finito perchè se tu consideri la matrice
$((-1,0,1,0),(0,2,1,0),(0,2,0,1),(0,2,0,1))$
questa rappresenta proprio la tua applicazione lineare rispetto alla base canonica di$RR^4$ hai che lo spazio delle matrici 4x4 si identifica con $RR^4$ scrivendo per colonna gli elementi della matrice.
infatti tale matrice è tale che l'immagine è proprio generata dalle sue prime 3 colonne che sono i trasformati della base standard di $R^4$ e il nucleo è proprio $U\cap V$.
beh allora hai finito perchè se tu consideri la matrice
$((-1,0,1,0),(0,2,1,0),(0,2,0,1),(0,2,0,1))$
questa rappresenta proprio la tua applicazione lineare rispetto alla base canonica di$RR^4$ hai che lo spazio delle matrici 4x4 si identifica con $RR^4$ scrivendo per colonna gli elementi della matrice.
infatti tale matrice è tale che l'immagine è proprio generata dalle sue prime 3 colonne che sono i trasformati della base standard di $R^4$ e il nucleo è proprio $U\cap V$.
come l'hai costruita questa matrice?
cioè, allora riconosco una certa somiglianza tra le colonne della matrice che mi hai passato e le colonne dell'immagine e del nucleo, però ad esempio l'ultima colonna, che ha come elementi 0,0,1,1 da dove è uscita? insomma come l'hai costruita questa matrice?
(ma il vettore del nucleo tuo non appartiene all'intersezione. O meglio non appartiene alle matrici del tipo $((a,a), (b,b))$)
cioè, allora riconosco una certa somiglianza tra le colonne della matrice che mi hai passato e le colonne dell'immagine e del nucleo, però ad esempio l'ultima colonna, che ha come elementi 0,0,1,1 da dove è uscita? insomma come l'hai costruita questa matrice?
(ma il vettore del nucleo tuo non appartiene all'intersezione. O meglio non appartiene alle matrici del tipo $((a,a), (b,b))$)
scusa mi mostri come t fa a venire quello come vettore dell'intersezione?
Beh ho pensato che dal momento che il vettore intersezione deve stare sia nel primo che nel secondo insieme, allora posso scrivere un generico vettore dell'intersezione sia come Matrice del primo che del secondo tipo, ovvero:
$((a,a),(b,b))$ = $alpha_1$ $((0,2),(2,2))$ + $alpha_2$$((-1,0),(0,0))$
ossia devo risolvere il sistema;
$((a=-alfa_2),(a=2alpha_1),(b=2alpha_2),(b=2alpha_1))$ e risolvendo il sistema mi viene:
$alpha_1$ = $a/2$
$alpha_2$ = $-a$
e quindi di fatto ho che:
$a/2((0,2),(2,2)) - a((-1,0),(0,0))$ = $a((1,1),(1,1)$
Devo costruire una applicazione che vada in $RR_2$ come faccio?
$((a,a),(b,b))$ = $alpha_1$ $((0,2),(2,2))$ + $alpha_2$$((-1,0),(0,0))$
ossia devo risolvere il sistema;
$((a=-alfa_2),(a=2alpha_1),(b=2alpha_2),(b=2alpha_1))$ e risolvendo il sistema mi viene:
$alpha_1$ = $a/2$
$alpha_2$ = $-a$
e quindi di fatto ho che:
$a/2((0,2),(2,2)) - a((-1,0),(0,0))$ = $a((1,1),(1,1)$
Devo costruire una applicazione che vada in $RR_2$ come faccio?
Se scrivi alpha invece di alfa ti apparirà la lettera greca esatta !
"Zkeggia":
Beh ho pensato che dal momento che il vettore intersezione deve stare sia nel primo che nel secondo insieme, allora posso scrivere un generico vettore dell'intersezione sia come Matrice del primo che del secondo tipo, ovvero:
$((a,a),(b,b))$ = $alpha_1$ $((0,2),(2,2))$ + $alpha_2$$((-1,0),(0,0))$
ossia devo risolvere il sistema;
$((a=-alpha_2),(a=2alpha_1),(b=2alpha_1),(b=2alpha_1))$ e risolvendo il sistema mi viene:
$alpha_1$ = $a/2$
$alpha_2$ = $-a$
e quindi di fatto ho che:
$a=b$
$a/2((0,2),(2,2)) - a((-1,0),(0,0))$ = $a((1,1),(1,1)$
Devo costruire una applicazione che vada in $RR_2$ come faccio?
ma c'è qualcosa che non mi torna. a me hanno insegnato che in questo caso per trovare una base dell'intersezione si procede in questo modo:
si trovano le basi dei sottospazi in questione e nel nostro caso abbiamo che
una base di V è data da $(0,2,2,2)$ e $(-1,0,0,0)$ ho scritto i vettori come riga in quanto come ti ho detto prima lo spazio delle matrici 2x2 lo puoi identificare con $RR^4$.
mentre una base di U è data da $(1,1,0,0)$ e $(0,0,1,1)$
ora metto in una matrice tali vettori scrivendoli per colonna ed ottengo la matrice che ho scritto in un post precedente.
$A=((-1,0,1,0),(0,2,1,0),(0,2,0,1),(0,2,0,1))$
ora riducendo a scala ottengo la seguente matrice
$S=((-1,0,1,0),(0,2,1,0),(0,0,1,-1))$
adesso i pivot,cioè gli elementi non nulli seguendo la "diagonale" della matrice cioè i numeri -1,2,1 mi dicono che i vettori nella matrice A che stanno
alla prima seconda e terza colonna sono una base per $U+V$ mentre per trovare una base del nucleo di $A$ che corrisponde a trovare una base di $U\cap V$ devo risolvere all'indietro la matrice ridotta a scala S.
ed ecco da dove mi viene fuori quel vettore dell'intersezione in quanto guardando $S$ e chiamando le coordinate di $R^4$ $x,y,z,t$
ho il seguente sistema omogeneo
$z-t=o$
$2y+z=0$
$-x+z=0$
che come soluzione mi dà proprio $z((1),(-1/2),(1),(1))$
ora non capisco dove sbaglio in quanto ho sempre fatto così.
si trovano le basi dei sottospazi in questione e nel nostro caso abbiamo che
una base di V è data da $(0,2,2,2)$ e $(-1,0,0,0)$ ho scritto i vettori come riga in quanto come ti ho detto prima lo spazio delle matrici 2x2 lo puoi identificare con $RR^4$.
mentre una base di U è data da $(1,1,0,0)$ e $(0,0,1,1)$
ora metto in una matrice tali vettori scrivendoli per colonna ed ottengo la matrice che ho scritto in un post precedente.
$A=((-1,0,1,0),(0,2,1,0),(0,2,0,1),(0,2,0,1))$
ora riducendo a scala ottengo la seguente matrice
$S=((-1,0,1,0),(0,2,1,0),(0,0,1,-1))$
adesso i pivot,cioè gli elementi non nulli seguendo la "diagonale" della matrice cioè i numeri -1,2,1 mi dicono che i vettori nella matrice A che stanno
alla prima seconda e terza colonna sono una base per $U+V$ mentre per trovare una base del nucleo di $A$ che corrisponde a trovare una base di $U\cap V$ devo risolvere all'indietro la matrice ridotta a scala S.
ed ecco da dove mi viene fuori quel vettore dell'intersezione in quanto guardando $S$ e chiamando le coordinate di $R^4$ $x,y,z,t$
ho il seguente sistema omogeneo
$z-t=o$
$2y+z=0$
$-x+z=0$
che come soluzione mi dà proprio $z((1),(-1/2),(1),(1))$
ora non capisco dove sbaglio in quanto ho sempre fatto così.
non lo so non ne ho idea... a scuola di fatto non ce l'hanno spiegato infatti questa è roba che sto studiando da solo...anche perchè il metodo per trovare il vettore dell'intersezione non l'ho copiato da qualche libro, sono andato a senso... mi spiace non poterti dare una mano.
Comunque a parte questo, il metodo per risolvere questo esercizio quale è stato?
Insomma è stato un caso che studiando la matrice generata dalle basi si sia scoperto che l'immagine è la somma dei vettori e il nucleo è l'intersezione oppure no? e in generale come si costruiscono le funzioni?
Comunque a parte questo, il metodo per risolvere questo esercizio quale è stato?
Insomma è stato un caso che studiando la matrice generata dalle basi si sia scoperto che l'immagine è la somma dei vettori e il nucleo è l'intersezione oppure no? e in generale come si costruiscono le funzioni?
non è un caso, questo è un modo standard d fare questi tipi diesercizi.
metti i vettori in una matrice e l'immagine coincide con $U+V$ è il nucleo è l'intersezione.
metti i vettori in una matrice e l'immagine coincide con $U+V$ è il nucleo è l'intersezione.
"miuemia":
ma c'è qualcosa che non mi torna. a me hanno insegnato che in questo caso per trovare una base dell'intersezione si procede in questo modo:
si trovano le basi dei sottospazi in questione e nel nostro caso abbiamo che
una base di V è data da $(0,2,2,2)$ e $(-1,0,0,0)$ ho scritto i vettori come riga in quanto come ti ho detto prima lo spazio delle matrici 2x2 lo puoi identificare con $RR^4$.
mentre una base di U è data da $(1,1,0,0)$ e $(0,0,1,1)$
ora metto in una matrice tali vettori scrivendoli per colonna ed ottengo la matrice che ho scritto in un post precedente.
$A=((-1,0,1,0),(0,2,1,0),(0,2,0,1),(0,2,0,1))$
ora riducendo a scala ottengo la seguente matrice
$S=((-1,0,1,0),(0,2,1,0),(0,0,1,-1))$
adesso i pivot,cioè gli elementi non nulli seguendo la "diagonale" della matrice cioè i numeri -1,2,1 mi dicono che i vettori nella matrice A che stanno
alla prima seconda e terza colonna sono una base per $U+V$ mentre per trovare una base del nucleo di $A$ che corrisponde a trovare una base di $U\cap V$ devo risolvere all'indietro la matrice ridotta a scala S.
ed ecco da dove mi viene fuori quel vettore dell'intersezione in quanto guardando $S$ e chiamando le coordinate di $R^4$ $x,y,z,t$
ho il seguente sistema omogeneo
$z-t=o$
$2y+z=0$
$-x+z=0$
che come soluzione mi dà proprio $z((1),(-1/2),(1),(1))$
ora non capisco dove sbaglio in quanto ho sempre fatto così.
Quello che hai trovato è il vettore dei coefficienti della combinazione, non il vettore che sta nell'intersezione!
Infatti, se prendi $z=1$, trovi che ti basta sommare i vettori $(1,1,0,0)$ e $(0,0,1,1)$ ottenendo
in questo modo $(1,1,1,1)$.
Tutto torna!
Ti do un consiglio: non chiamare $x,y,z,t$ i coefficienti della combinazione. Rischi di fare confuzione..
in questo modo $(1,1,1,1)$.
Tutto torna!
Ti do un consiglio: non chiamare $x,y,z,t$ i coefficienti della combinazione. Rischi di fare confuzione..
non ho capito bene. che vuol dire il vettore della combinazione?
"miuemia":
non ho capito bene. che vuol dire il vettore della combinazione?
Significa che tu hai trovato il vettore dei coefficienti della combinazione lineare.
Hai fatto confusione tra le coordinate dei vettori che stanno nell'intersezione e i coefficienti
della combinazione lineare!
cioè ho trovato i coefficienti della combinazione lineare che esprimono il generico vettore dell'intersezione?
"miuemia":
cioè ho trovato i coefficienti della combinazione lineare che esprimono il generico vettore dell'intersezione?
sì, infatti poi devi sostituire i coefficienti al loro posto e trovi i vettori dell'intersezione.
a me non torna, di che vettore state parlando?
$Z((1,1/2,1,1))?$
se è questo non mi torna... specificate di che vettore state parlando per favore
$Z((1,1/2,1,1))?$
se è questo non mi torna... specificate di che vettore state parlando per favore
"Zkeggia":
a me non torna, di che vettore state parlando?
$Z((1,1/2,1,1))?$
se è questo non mi torna... specificate di che vettore state parlando per favore
c'è il meno a $1/2$, ma a parte questo l'importante è capire che questa quaterna di numeri si riferisce
ai coefficienti della combinazione lineare.
Dovete sostituire $1$ e $-1/2$ al posto dei coefficienti della combinazione lineare di $V$ oppure $1$ e $1$
al posto dei coefficienti della combinazione lineare di $U$.
ma che prova ho che tutte le volte che mi trovo in una situazione simile e costruisco la matrice, riducendo a scalini trovo sempre i coefficienti che sostituiti ad una base del primo insieme o ad una base del secondo mi danno sempre un vettore dell'insieme intersezione?
In pratica hai:
$1 \cdot ((-1,0),(0,0)) + (-1/2) \cdot ((0,2),(2,2)) = ((-1,-1),(-1,-1))$.
Devi fare attenzione all'ordine con cui scrivi i vettori.
$1 \cdot ((-1,0),(0,0)) + (-1/2) \cdot ((0,2),(2,2)) = ((-1,-1),(-1,-1))$.
Devi fare attenzione all'ordine con cui scrivi i vettori.
sì ho capito che funziona, è che non capisco perchè XD
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