Un teorema sulle applicazione lineari (Geometria I)

[Help2]

Testo:

Sia $f: V->W$ un'applicazione lineare tra gli spazi vettoriali $V$ e $W$, $f$ è iniettiva se e solo se $kerf={0_v}$

"Dimostrazione": Se $ker f={0_v}$, si tratta di dimostrare che $f$ è iiettiva, ossia che se $f(x)=f(y)$, con $x,y in V$ allora $x=y$.
Ma da $f(x)=f(y)$ segue $x-y=0_v$, da cui la tesi. Viceversa, se $f$ è iniettiva e se si suppone, per assurdo, che esista un vettore $x in ker f$, $x!=0$ allora $f(x)=f(0_v)=0_w$, che è assurdo.

Potreste spiegarmi perchè
da $f(x)=f(y)$ segue $x-y=0_v$

e perchè

$f(0_v)=0_w$

Grazie.

[Pappus]

Te le metto in ordine:
f(x)=f(y)
f(x)-f(y)=0
f(x-y)=0 perché f è lineare
quindi x-y sta in ker f
Dall'ipotesi ker f={0}, sicché x-y=0

Per l'ultima osserva che
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) per linearità
infine sottraggo a entrambi i membri f(0).

ciao,
spero sia chiaro
pappus

[amel3]

"Help":
Potreste spiegarmi perchè

1) da $f(x)=f(y)$ segue $x-y=0_v$

e perchè

2) $f(0_v)=0_w$

Grazie.

1) $f(x)=f(y) \ =>$ (per linearità) $f(x-y)=0_W \ =>$ (poichè il Ker è il singoletto 0 per ipotesi) $ x-y=0_V$.

2) $f(0_V)=f(0_V-0_V)=$(per linearità)$=f(0_V)-f(0_V)=0_W$

EDIT: Non avevo visto la tua risposta. Vabbè, dai non cancello... Two is megl che one...