Un sottospazio degli endomorfismi di R^3
Salve a tutti
vorrei sottoporvi un pezzo di un esercizio su cui mi sono bloccato, però ho bisogno prima di fare la domanda di esporre un pochino la situazione.
Siano $W_k$ e $V$ due sottospazi di $mathbb{R}^3$. (Il $k$ lo scrivo solo per mantenere una continuità con ciò che scriverò dopo e nell'esercizio era solo uno dei casi discussi, perciò in ciò che scrivo ora non ha importanza!)
Sia $F_k={f\inEnd(\mathbb{R}^3)|W_k\subseteqKer(f),Im(f)\subseteqV}\subseteqEnd(\mathbb{R}^3)$ un sottospazio.
Sapendo che $dimV=2$ e che $W_k={0}$ si calcoli la dimensione di $F_k$.
Io ho fatto queste considerazioni:
$F_k={f\inEnd(\mathbb{R}^3)|W_k={0}\subseteqKer(f),Im(f)\subseteqV}={f\inEnd(\mathbb{R}^3)|Im(f)\subseteqV}=$
$={f\inEnd(\mathbb{R}^3)|rk(f)\leq2}$ $(1)$
ma dalla $(1)$ e dal fatto che $dim\mathbb{R}^3=dimKer(f)+rk(f)$ segue che $dimKer(f)\geq1$ e quindi la $(1)$ diventa $$F_k=\{f \in End(\mathbb{R}^3)| dimKer(f)\geq1,rk(f)\leq2\} \ \ (2)$$
A questo punto $f\in F_k$ ho due possibilità (a meno che $f$ non sia $0$):
a) $dimKer(f)=2$ e $rk(f)=1$;
b) $dimKer(f)=1$ e $rk(f)=2$;
Per il calcolo della dimensione vedo come sono fatte le applicazioni in $F_k$ nei due casi nello spazio $\mathcalM(3,\mathbb{R})$. Per questo mi servono delle basi in partenza e in arrivo (che saranno poi la stessa). Siccome so che $$\mathbb{R}^3=Ker(f)\oplus Im(f)$$
nel caso a) avrò $$\mathbb{R}^3=\oplus $$
nel caso b) avrò $$\mathbb{R}^3=\oplus $$
(dove i vettori contrassegnati con $u$ sono generatori del $Ker(f)$ e quelli con $v$ generatori di $Im(f)$ nei rispettivi casi)
Per il caso a) ho che nella base $$\mathcal{B}=\{u_1,u_2,v_1\}$$ in partenza e in arrivo la matrice associata ad $f$ sarà:
$$\mathcal{M}^\mathcal{B} _\mathcal{B}(f)=\left( \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & c \end{array} \right) , c\in \mathbb{R}$$
Nel caso b) con passaggi analoghi si ottiene che la matrice di $f$ nella base $$\mathcal{B}=\{u_1,v_1,v_2\}$$ è $$\mathcal{M}^\mathcal{B} _\mathcal{B}(f)=\left( \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & a & b \\
0 & c & d \end{array} \right) , ad-bc\neq0, a,b,c,d\in \mathbb{R} \ \ \ \ (3)$$
A questo punto una base dell'immagine isomorfa di $F_k$ nello spazio delle matrici è data dalla base della somma dei sottospazi generati dall'unione di questi due casi visto che sono supplementari. (Questa frase è sensata?)
Il mio problema è che:
1) la $(3)$ non esprime uno spazio vettoriale. Ma da qui ci volevo tirare un pezzo della base. Che ci faccio ora?
2)Non ho capito se ho ragionato bene;
3)Se ho sbagliato qualcosa questo ragionamento comunque porta da qualche parte? (Vanno bene soluzioni alternative ma preferirei piuttosto correggere il mio di ragionamento e capire cosa non lo fa tornare)
Grazie mille in anticipo e scusate la lunghezza ma ci sto impazzendo...
vorrei sottoporvi un pezzo di un esercizio su cui mi sono bloccato, però ho bisogno prima di fare la domanda di esporre un pochino la situazione.
Siano $W_k$ e $V$ due sottospazi di $mathbb{R}^3$. (Il $k$ lo scrivo solo per mantenere una continuità con ciò che scriverò dopo e nell'esercizio era solo uno dei casi discussi, perciò in ciò che scrivo ora non ha importanza!)
Sia $F_k={f\inEnd(\mathbb{R}^3)|W_k\subseteqKer(f),Im(f)\subseteqV}\subseteqEnd(\mathbb{R}^3)$ un sottospazio.
Sapendo che $dimV=2$ e che $W_k={0}$ si calcoli la dimensione di $F_k$.
Io ho fatto queste considerazioni:
$F_k={f\inEnd(\mathbb{R}^3)|W_k={0}\subseteqKer(f),Im(f)\subseteqV}={f\inEnd(\mathbb{R}^3)|Im(f)\subseteqV}=$
$={f\inEnd(\mathbb{R}^3)|rk(f)\leq2}$ $(1)$
ma dalla $(1)$ e dal fatto che $dim\mathbb{R}^3=dimKer(f)+rk(f)$ segue che $dimKer(f)\geq1$ e quindi la $(1)$ diventa $$F_k=\{f \in End(\mathbb{R}^3)| dimKer(f)\geq1,rk(f)\leq2\} \ \ (2)$$
A questo punto $f\in F_k$ ho due possibilità (a meno che $f$ non sia $0$):
a) $dimKer(f)=2$ e $rk(f)=1$;
b) $dimKer(f)=1$ e $rk(f)=2$;
Per il calcolo della dimensione vedo come sono fatte le applicazioni in $F_k$ nei due casi nello spazio $\mathcalM(3,\mathbb{R})$. Per questo mi servono delle basi in partenza e in arrivo (che saranno poi la stessa). Siccome so che $$\mathbb{R}^3=Ker(f)\oplus Im(f)$$
nel caso a) avrò $$\mathbb{R}^3=
nel caso b) avrò $$\mathbb{R}^3=
(dove i vettori contrassegnati con $u$ sono generatori del $Ker(f)$ e quelli con $v$ generatori di $Im(f)$ nei rispettivi casi)
Per il caso a) ho che nella base $$\mathcal{B}=\{u_1,u_2,v_1\}$$ in partenza e in arrivo la matrice associata ad $f$ sarà:
$$\mathcal{M}^\mathcal{B} _\mathcal{B}(f)=\left( \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & c \end{array} \right) , c\in \mathbb{R}$$
Nel caso b) con passaggi analoghi si ottiene che la matrice di $f$ nella base $$\mathcal{B}=\{u_1,v_1,v_2\}$$ è $$\mathcal{M}^\mathcal{B} _\mathcal{B}(f)=\left( \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & a & b \\
0 & c & d \end{array} \right) , ad-bc\neq0, a,b,c,d\in \mathbb{R} \ \ \ \ (3)$$
A questo punto una base dell'immagine isomorfa di $F_k$ nello spazio delle matrici è data dalla base della somma dei sottospazi generati dall'unione di questi due casi visto che sono supplementari. (Questa frase è sensata?)
Il mio problema è che:
1) la $(3)$ non esprime uno spazio vettoriale. Ma da qui ci volevo tirare un pezzo della base. Che ci faccio ora?
2)Non ho capito se ho ragionato bene;
3)Se ho sbagliato qualcosa questo ragionamento comunque porta da qualche parte? (Vanno bene soluzioni alternative ma preferirei piuttosto correggere il mio di ragionamento e capire cosa non lo fa tornare)
Grazie mille in anticipo e scusate la lunghezza ma ci sto impazzendo...
Risposte
Prima di impazzire calmati 
Per prima cosa osserva questo:
$V:$
Sappiamo che $V$ vive in uno spazio di dimensione 3. Quindi abbiamo una matrice che da uno spazio di dimensione 3 va in uno spazio di dimensione 2:
$|F_k|=3*2=6$
Per prima cosa osserva questo:
$V:
Sappiamo che $V$ vive in uno spazio di dimensione 3. Quindi abbiamo una matrice che da uno spazio di dimensione 3 va in uno spazio di dimensione 2:
$|F_k|=3*2=6$
Maci86:
Prima di impazzire calmati
Quindi abbiamo una matrice che da uno spazio di dimensione 3 va in uno spazio di dimensione 2:
$|F_k|=3*2=6$
Le applicazioni di cui al punto b) sono invertibili se ristrette a $V$, percio' non sono contemplati i casi in cui $f$ manda $V$ in un sottospazio di $V$ di dimensione 1 o 0, percio' se mai sarebbe $dimF_k=4$. Ma nemmeno questo mi torna, infatti, da quello che ho gia' scritto, dalla matrice con il blocchetto 2x2 in basso a sinistra, con la condizione $ad-bc\ne0$ non ci ricavo nessun sottospazio dal momento che non lo e', visto che la matrice nulla non e' contenuta nel sottospazio generato. Come mai non riesco ad andare avanti?
Mi piacerebbe correggere questo bug del mio ragionamento. Sempre che sia un bug e non sia invece sbagliato il ragionamento in toto.
Altolà dove viene scritto che non puoi mandare $im(f)$ in un sottospazio di V?
--- o ---
Provo a renderti le cose più semplici possibili, descrivo $RR^3$ in questo modo:
$RR^3= V\oplusU= \oplus = .$
Ora vediamo come deve comportarsi l'endomorfismo:
$E:((a,b,c),(d,e,f),(0,0,0))$
Vediamo se è vero che le nostre matrici rispettano le regole:
$((a,b,c),(d,e,f),(0,0,0)) ((1),(0),(0))= ((a),(d),(0)) in V$
$((a,b,c),(d,e,f),(0,0,0)) ((0),(1),(0))= ((b),(e),(0)) in V$
$((a,b,c),(d,e,f),(0,0,0)) ((0),(0),(1))= ((c),(f),(0)) in V$
Inoltre sappiamo che il vettore nullo appartiene al $ker$, quindi rispetta ogni regola.
--- o ---
Provo a renderti le cose più semplici possibili, descrivo $RR^3$ in questo modo:
$RR^3= V\oplusU=
Ora vediamo come deve comportarsi l'endomorfismo:
$E:((a,b,c),(d,e,f),(0,0,0))$
Vediamo se è vero che le nostre matrici rispettano le regole:
$((a,b,c),(d,e,f),(0,0,0)) ((1),(0),(0))= ((a),(d),(0)) in V$
$((a,b,c),(d,e,f),(0,0,0)) ((0),(1),(0))= ((b),(e),(0)) in V$
$((a,b,c),(d,e,f),(0,0,0)) ((0),(0),(1))= ((c),(f),(0)) in V$
Inoltre sappiamo che il vettore nullo appartiene al $ker$, quindi rispetta ogni regola.
Scusa maci86 se ti assillo, ma mi interessa veramente capire.
Credo di aver capito quello che vuoi dire... Ma il fatto che io abbia selezionato il caso $dimKer(f)=1$ e $rk(f)=2$ (alias caso b). Ammesso che non abbia sbagliato a imporlo) non mi porta a dire che $Im(f)=V$?
Se faccio come hai detto tu ricado in casi differenti o gia' discussi no? Le tue $f$ soddisfano si' la caratteristica, ma alcune di esse hanno immagine di dimensione 1 o 0 per opportune scelte dei parametri. Sbaglio?
Sara' priva di senso la divisione in casi che ho proposto o qualche altra cosa? oppure ti torna il ragionamento che ho fatto? (indipendentemente dal fatto che forse si poteva trovare una soluzione piu' compatta...)
Grazie 1000 per la pazienza.
Credo di aver capito quello che vuoi dire... Ma il fatto che io abbia selezionato il caso $dimKer(f)=1$ e $rk(f)=2$ (alias caso b). Ammesso che non abbia sbagliato a imporlo) non mi porta a dire che $Im(f)=V$?
Se faccio come hai detto tu ricado in casi differenti o gia' discussi no? Le tue $f$ soddisfano si' la caratteristica, ma alcune di esse hanno immagine di dimensione 1 o 0 per opportune scelte dei parametri. Sbaglio?
Sara' priva di senso la divisione in casi che ho proposto o qualche altra cosa? oppure ti torna il ragionamento che ho fatto? (indipendentemente dal fatto che forse si poteva trovare una soluzione piu' compatta...)
Grazie 1000 per la pazienza.
Ok, non penso abbia senso la divisione in casi, per quello non capivo quello che mi chiedevi, puoi semplicemente lavorare nel caso generale e avere la soluzione generale come ho fatto io.
Vediamo il tuo caso specifico:
$rk(f)=2$
Questo mi dice che copriamo tutto $V$ giustamente. La condizione di rango 2 però ti toglie la matrice nulla e quindi ti fa perdere la proprietà di sottospazio e lì ti "incasini".
Vediamo il tuo caso specifico:
$rk(f)=2$
Questo mi dice che copriamo tutto $V$ giustamente. La condizione di rango 2 però ti toglie la matrice nulla e quindi ti fa perdere la proprietà di sottospazio e lì ti "incasini".
Perfetto allora. Proprio un ultima cosa allora...
Questo procedimento che ho usato io puo' non funzionare, come in questo caso. Ma si poteva capire sin dall'inizio che questo tipo di approccio non avrebbe portato a niente salvandomi da inutili calcoli?
Grazie ancora
Questo procedimento che ho usato io puo' non funzionare, come in questo caso. Ma si poteva capire sin dall'inizio che questo tipo di approccio non avrebbe portato a niente salvandomi da inutili calcoli?
Grazie ancora
Si poteva capire nel momento in cui ti vedevi dei risultati che non includevano la matrice nulla. Comunque l'esperienza ti fa senz'altro capire come muoverti più velocemente su questi esercizi. Consiglio personale, cerca di portare sempre la discussione nei casi più generali possibili, senza perderti in sottocasistiche et similia
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