Un problema di algebra lineare sulla circonferenza

[UchihaDragoon]

Ciao a tutti, non riesco a risolvere questo tipo di problemi, mi potete dare una mano??

data la circonferenza intersezione di x^2+y^2+z^2+2y-4z=0 ed il piano x-2y+2z=0
e la retta x=y=2z si determinino raggio e centro della circonferenza e si dica se r è tangente alla circonferenza.

domani ho l esame su queste cose ma nn penso di potermela cavare... intanto grazie di tutto

[dissonance]

Ciao! Per rendere più leggibili i tuoi post, vedi qui: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Riscrivo i dati del problema:
circonferenza: ${(x^2+y^2+z^2+2y-4z=0),(x-2y+2z=0):}$
retta: $x=y=2z$
La circonferenza ha due equazioni: la prima è quella di una sfera, la seconda di un piano. Il raggio e il centro della circonferenza sono chiaramente quelli della sfera. Si tratta di applicare qualche formula all'equazione $x^2+y^2+z^2+2y-4z=0$.

Oppure, se come me non ti ricordi le formule, prova a cercare la forma canonica della sfera. Mi riferisco all'equazione $X^2+Y^2+Z^2=r^2$ di una sfera con centro nell'origine e raggio $r$. Si tratta in concreto di trovare un cambio di coordinate che faccia sparire i termini di primo grado. Nella tua equazione ad esempio, io applicherei il cambiamento di coordinate ${(x=X),(y=Y-1), (z=Z+2):}$. Questo perché sostituendo otteniamo $X^2+(Y-1)^2+(Z+2)^2+2Y-2+4Z-8$$=X^2+Y^2+Z^2-5=0$. Allora con queste nuove coordinate $X,Y,Z$ la circonferenza ha centro nel punto $(X,Y,Z)=(0,0,0)$, cioè ${(x=0),(y=-1), (z=+2):}.$. Abbiamo effettuato solo una traslazione degli assi, quindi non abbiamo modificato le distanze nel passare da $x,y,z$ a $X,Y,Z$ e perciò possiamo leggere il raggio dall' equazione in $X,Y,Z$: $sqrt(5)$.

Resta da verificare se $r$ è tangente o meno alla circonferenza. Possiamo fare subito una verifica: se $r$ non giace nel piano della circonferenza non è sicuramente tangente. La verifica è molto semplice: mettiamo a sistema l'equazione del piano $x-2y+2z=0$ e quella della retta $x=y=2z$. Si vede subito che ogni punto della retta soddisfa l'equazione del piano. Resta da verificare solo una cosa: la molteplicità di intersezione tra la retta e la sfera. Dobbiamo cioè studiare in che maniera la retta interseca la sfera (e perciò la circonferenza, dato che sappiamo già che retta e circonferenza sono complanari). Perciò si tratta di mettere le tre equazioni in un sistema: otteniamo
${ (x^2+y^2+z^2+2y-4z=0),(x=y=2z):}$ da cui ${(6z^2=0),(x=y=2z):}$. Vediamo che la retta interseca la circonferenza in un solo punto, $(0,0,0)$ con molteplicità 2. In altre parole, la retta è la tangente alla circonferenza nel punto $(0,0,0)$.

[UchihaDragoon]

Grazie mille grazie mille, ho capito la risposta e tutto il procedimento tranne una cosa all'inizio, come fai a dire che la circonferenza ha stesso centro e stesso raggio della sfera??

[dissonance]

"UchihaDragoon":Grazie mille grazie mille, ho capito la risposta e tutto il procedimento tranne una cosa all'inizio, come fai a dire che la circonferenza ha stesso centro e stesso raggio della sfera??

Semplice: è un errore mio!! Meno male che te ne sei accorto. E difatti il centro della sfera $(0,-1,2)$ non appartiene al piano della circonferenza.

[dissonance]

circonferenza: ${(x^2+y^2+z^2+2y-4z=0),(x-2y+2z=0):}$
retta: $x=y=2z$
Per trovare centro e raggio della circonferenza una maniera giusta di procedere è: risolvere la $x$ (o la $y$, o la $z$) nell'equazione del piano, quindi $x=2y-2z$, sostuire in quella della sfera ...otteniamo $(2y-2z)^2+y^2+z^2+2y-4z=0$ quindi $4y^2+4z^2-8yz+y^2+z^2+2y-4z=0$ e in conclusione ${(5y^2+5z^2-8yz+2y-4z=0),(x=2y-2z):}$. Queste sono ancora equazioni della stessa circonferenza ma hanno una forma più esplicita.
Se pensiamo la prima equazione (nota che ha solo due variabili) come quella di una circonferenza piana, e ne cerchiamo il centro, otterremo le coordinate $(y,z)$ del centro della nostra circonferenza tridimensionale. Sostituendo nell'equazione del piano troveremo anche la coordinata $x$.
[size=75]Da un punto di vista geometrico, queste trasformazioni nelle equazioni corrispondono a pensare la circonferenza non più come intersezione di una sfera con un piano, ma di un cilindro (normale al piano $yz$) con un piano. Il vantaggio è che l'equazione di un cilindro normale ad un piano coordinato come questo ha solo 2 variabili. Da un punto di vista algebrico, abbiamo eliminato la variabile $x$ nella prima equazione. Adesso possiamo usare sulla prima equazione gli strumenti propri della geometria piana.[/size]
Sulla circonferenza in $y,z$ potremmo cercare una riduzione in forma canonica ma per fare prima usiamo il metodo più generale per determinare il centro di una conica piana (a centro):
scriviamo l'equazione in forma di matrice
$(1,y,z)((0,{-1},{-2}),(-1,[5],[-4]),(-2,[-4],[5]))((1),(y),(z))=0$
e risolviamo il sistema lineare
$[[5, -4],[-4, 5]][[y],[z]]=[[{-1}],[{-2}]]$
(le parentesi quadre e graffe per segnalare da dove è saltato fuori questo sistema lineare).
Ricaviamo che le coordinate $(y,z)$ del centro della circonferenza sono $(-13/9, -14/9)$. Dall'equazione del piano ricaviamo la coordinata $x$: $x=-26/9+38/9=4/3$. Quindi il centro della circonferenza è $(x,y,z)=(4/3, -13/9, -14/9)$.
Resta da calcolare il raggio. Il metodo che ho usato prima andava bene per la sfera ma adesso non serve più. Secondo me la cosa più veloce è cercare un punto che sicuramente appartiene alla circonferenza, nel nostro caso va bene $(0,0,0)$ e calcolarne la distanza dal centro. Ovvero: $r=sqrt((4/3)^2+(-13/9)^2+(-14/9)^2)$. a meno di errori miei.

Spero di non averti confuso troppo le idee... Mi dispiace molto per l'errore nel mio post precedente. In bocca al lupo per il tuo esame!!!

[UchihaDragoon]

e nn avrà nemmeno stesso raggio della sfera giusto??
lo ricavo dall'equazione in due incognite della circonferenza giusto??

[dissonance]

si guarda ho modificato il post di prima e ho scritto come risolverei io. tutto da prendere con le pinze naturalmente... non vorrei aver scritto qualche altra cavolata!

[orphen86]

Io lavorerei così:

trovo il centro $S(x_0,y_0,z_0)$ e il raggio r della sfera $\Sigma : x^2+y^2+z^2+2y-4z=0$ trovo poi la normale del piano $\alpha : x-2y+2z=0$, verifcato che il piano è seccante alla sfera cioè $d(S;\alpha)

Cita

Segnala