Un polinomio è combinazione lineare di uno o più polinomi
Ciao a tutti, oggi mi trovo faccia a faccia con un esercizio mai visto e sinceramente nn so come fare:
siano dati tre polinomi:
$p_1(x)=1-x$
$p_2(x)=1-3x+x^2$
$p_3(x)=x+x^2$
dimostra che il polinomio $q(x)=x^2-4x-1$ è una loro combinazione lineare.
Ho pensato che per vedere se un vettore $u$ è una combinazione lineare di altri $n$ vettori $v$ devo vedere se scelti degli $\alpha_1... \alpha_n \in RR$ posso scrivere:
$u= \alpha_0v_0+...+\apha_nv_n$
magari posso considerare i miei 3 polinomi come vettori e scrivere:
$q(x)=\alpha_1p_1(x)+\alpha_2p_2(x)+\alpha_3p_3(x)$, quindi avrei la seguente matrice:
$Ax=b =>((0,-1,1),(1,3,1),(1,1,0))=((1),(-4),(-1))$ da cui mi basta portare a scala al matrice $AX=b$ e trovare le soluzioni.
tuttavia non mi risulta .. e non solo, a dire il vero non saprei descrivere bene manco cosa rappresentano esattamente le soluzioni trovate... sapete aiutarmi?
siano dati tre polinomi:
$p_1(x)=1-x$
$p_2(x)=1-3x+x^2$
$p_3(x)=x+x^2$
dimostra che il polinomio $q(x)=x^2-4x-1$ è una loro combinazione lineare.
Ho pensato che per vedere se un vettore $u$ è una combinazione lineare di altri $n$ vettori $v$ devo vedere se scelti degli $\alpha_1... \alpha_n \in RR$ posso scrivere:
$u= \alpha_0v_0+...+\apha_nv_n$
magari posso considerare i miei 3 polinomi come vettori e scrivere:
$q(x)=\alpha_1p_1(x)+\alpha_2p_2(x)+\alpha_3p_3(x)$, quindi avrei la seguente matrice:
$Ax=b =>((0,-1,1),(1,3,1),(1,1,0))=((1),(-4),(-1))$ da cui mi basta portare a scala al matrice $AX=b$ e trovare le soluzioni.
tuttavia non mi risulta .. e non solo, a dire il vero non saprei descrivere bene manco cosa rappresentano esattamente le soluzioni trovate... sapete aiutarmi?
Risposte
Falla più semplice. Devi verificare che $EE \alpha , \beta , \gamma \in RR$ $q(x)=\alpha p_1(x)+ \beta p_2(x) +\gamma \p_3(x)$. Con un po di conti e utilizzando il Principio di identità di polinomi , ti riconduci ad un sistema lineare di 3 equazioni e 3 incognite. Se il sistema è incompatibile, allora $q$ non è combinazione lineare di $p_1,p_2,p_3$... continua tu
è un po' come il calcolo di alcuni integrali fratti!? no?
In che senso?
Allora , siano $a,b,c \in RR$ .
Vogliamo verificare se $q(x )=x^2-4x-1= ap_1(x)+bp_2(x)+cp_3(x)= $
$=a(1-x)+b(1-3x+x^2)+c(x+x^2)=(b+c)x^2+(c-3b-a)x+(a+b)$.
L'uguaglianza vale se e solo se (applico l'identità tra polinomi)
$a+b=-1$
$c-3b-a=-4$
$b+c=1$ è compatibile . (inoltre se è compatibile, la soluzione è unica)
Allora , siano $a,b,c \in RR$ .
Vogliamo verificare se $q(x )=x^2-4x-1= ap_1(x)+bp_2(x)+cp_3(x)= $
$=a(1-x)+b(1-3x+x^2)+c(x+x^2)=(b+c)x^2+(c-3b-a)x+(a+b)$.
L'uguaglianza vale se e solo se (applico l'identità tra polinomi)
$a+b=-1$
$c-3b-a=-4$
$b+c=1$ è compatibile . (inoltre se è compatibile, la soluzione è unica)
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