Un po' di Geometria Affine
Salve a tutti, avrei un paio di dubbietti di Geometria che non aspettano altro che essere risolti...
1) Se ho l'equazione cartesiana di un sottospazio affine (per esempio, una retta di $R^3$ nell'esempio che mi riguarda), come faccio a trovare il vettore direttore senza passare alle equazioni parametriche?
2) Se ho le equazioni parametriche di un sottospazio affine e voglio passare alle cartesiane, a lezione mi hanno consigliato di impostare il determinante della matrice dei coefficienti (con alla prima colonna la coordinata meno il punto) uguale a 0 (perchè il generico punto P del sottospazio affine deve essere linearmente dipendente dai vettori generatori dello spazio stesso). Ma questo procedimento non sempre è possibile, perchè a volte la matrice non è quadrata! In queste situazioni come posso passare dalle parametriche alle cartesiane?
Grazie mille, Saluti Spaziali
1) Se ho l'equazione cartesiana di un sottospazio affine (per esempio, una retta di $R^3$ nell'esempio che mi riguarda), come faccio a trovare il vettore direttore senza passare alle equazioni parametriche?
2) Se ho le equazioni parametriche di un sottospazio affine e voglio passare alle cartesiane, a lezione mi hanno consigliato di impostare il determinante della matrice dei coefficienti (con alla prima colonna la coordinata meno il punto) uguale a 0 (perchè il generico punto P del sottospazio affine deve essere linearmente dipendente dai vettori generatori dello spazio stesso). Ma questo procedimento non sempre è possibile, perchè a volte la matrice non è quadrata! In queste situazioni come posso passare dalle parametriche alle cartesiane?
Grazie mille, Saluti Spaziali
Risposte
"SaturnV":
Salve a tutti, avrei un paio di dubbietti di Geometria che non aspettano altro che essere risolti...
1) Se ho l'equazione cartesiana di un sottospazio affine (per esempio, una retta di $R^3$ nell'esempio che mi riguarda), come faccio a trovare il vettore direttore senza passare alle equazioni parametriche?
beh prima di tutto ti trovi la retta passante per l'origine parallela a quella data e ti ritrovi con il sottospazio vettoriale di $RR^3$ del tipo: $V={ax+by+cz=0,a'x+b'y+c'z=0}
da qui con un pò di sostituzioni una dento l'altra ottieni che
$y=-a/(ab'-a'b)(ac'+c)/az$ e
$x=(b/aa/(ab'-a'b)(ac'+c)/a+ca/(ab'-a'b)(ac'+c)/a)z
quindi spanV=(x,y,z) che è anche una base per V.
il vettore (x,y,z) dipende solo da z e quindi ha anche dimensione 1, genra infatti solo una retta.
Hai trovato il tuo vettore direttore.
(spero di non aver fatto errori di calcolo, cmq spero hai capito la logica della cosa)
"SaturnV":
2) Se ho le equazioni parametriche di un sottospazio affine e voglio passare alle cartesiane, a lezione mi hanno consigliato di impostare il determinante della matrice dei coefficienti (con alla prima colonna la coordinata meno il punto) uguale a 0 (perchè il generico punto P del sottospazio affine deve essere linearmente dipendente dai vettori generatori dello spazio stesso). Ma questo procedimento non sempre è possibile, perchè a volte la matrice non è quadrata! In queste situazioni come posso passare dalle parametriche alle cartesiane?
Grazie mille, Saluti Spaziali
puoi fare, se hai $x=at+alpha$, $y=bt+beta$, $z=ct+gamma$
metti tutto a sistema e sicavi la t da ogni passo e quindi la elimini dalle due equazioni finali che trovi
ps "spazio affine" è la stessa cosa di "spazio vettoriale" vero?
spero di aver risposto giusto alle domande
ciaoo
"fu^2":
ps "spazio affine" è la stessa cosa di "spazio vettoriale" vero?
Mio Dio, no!
Prova a guardare qui.
"Martino":
[quote="fu^2"]ps "spazio affine" è la stessa cosa di "spazio vettoriale" vero?
Mio Dio, no!
Prova a guardare qui.[/quote]
scusa l'eresia, però è la prima volta che sento parlare di spazi affini, per ora ho sempre sentito solo spazi vettoriali...
da qui la mia domand... grazie del link
2) Se ho le equazioni parametriche di un sottospazio affine e voglio passare alle cartesiane, a lezione mi hanno consigliato di impostare il determinante della matrice dei coefficienti (con alla prima colonna la coordinata meno il punto) uguale a 0 (perchè il generico punto P del sottospazio affine deve essere linearmente dipendente dai vettori generatori dello spazio stesso). Ma questo procedimento non sempre è possibile, perchè a volte la matrice non è quadrata! In queste situazioni come posso passare dalle parametriche alle cartesiane?
proprio come hai tu detto: il generico punto del sottospazio affine deve essere dipendente dai vettori generatori dello spazio.
Quindi se hai: una retta nel piano:
siano $P_0(x_0,y_0),P_1(x_1,y_1) in A$ piano affine (distinti)
sia $r$ la retta passante per $P_0$ e $P_1$,
ad esempio il sottospazio affine passante per $P_0$ e parallelo a $vec(P_0P_1)$
il generico punto $P(x,y)$ appartiene alla retta $r<=>$ $vec(PP_0)$ e $vec(P_0P_1)$ sono linearmente dipendenti
$<=>$ la matrice $((x-x_0,y-y_0),(x_1-x_0,y_1-y_0))$ ha rango 1 $<=>$ ha determinante 0
nota: l'ultima equivalenza è sicura, visto che esiste almeno un minore non nullo di ordine 1, ad esempio l'elemento 2,1, visto che i punti sono distinti: porre il determinante nullo vuol dire imporre che tutti i minori di ordine 2 (cioè la matrice stessa) siano nulli.
piano nello spazio il discorso è perfettamente analogo, semplicemente otterrai una matrice 3x3
retta nello spazio come sai, sarà rappresentata da due equazioni a sistema (tipicamente le equazioni dei due piani che hanno la retta come intersezione), ma la teoria è analoga: otterrai una matrice 2x3, devi imporre che il suo rango sia 1
cioè devi imporre che i minori di ordine 2 siano nulli!
(così otterrai 3 equazioni, una delle quali vedrai è un'identità)
"SaturnV":
1) Se ho l'equazione cartesiana di un sottospazio affine (per esempio, una retta di $R^3$ nell'esempio che mi riguarda), come faccio a trovare il vettore direttore senza passare alle equazioni parametriche?
visto che ho preso il quaderno..
data $r: { ax+by+cz+d=0;a'x+b'y+c'z+d'=0$
il vettore direttore è $(det((b,c),(b',c')),-det((a,c),(a',c')),det((a,b),(a',b')))$
se ci fai caso è facile ricordarselo, devi fare i minori...
Grazie, sei stato chiarissimo!
Ho un ultimo dubbio riguardante questo argomento.
Supponiamo di avere le equazioni parametriche di una retta nello spazio.
Voglio passare alle equazioni cartesiane.
Quindi imposto la matrice usuale e impongo che il rango sia 1.
Perfetto.
Ora il Teorema di Rouchè-Capelli afferma che la dimensione dello spazio delle soluzioni è n-rk=3-1= 2 , ovvero la soluzione è un piano, dipende da due parametri liberi. Non riesco a "visualizzare" quest'ultima affermazione.
Se io ho l'equazione cartesiana di una retta, cosa vuol dire che dipende da due parametri liberi?
Grazie mille, saluti spaziali.
Fabio
Ho un ultimo dubbio riguardante questo argomento.
Supponiamo di avere le equazioni parametriche di una retta nello spazio.
Voglio passare alle equazioni cartesiane.
Quindi imposto la matrice usuale e impongo che il rango sia 1.
Perfetto.
Ora il Teorema di Rouchè-Capelli afferma che la dimensione dello spazio delle soluzioni è n-rk=3-1= 2 , ovvero la soluzione è un piano, dipende da due parametri liberi. Non riesco a "visualizzare" quest'ultima affermazione.
Se io ho l'equazione cartesiana di una retta, cosa vuol dire che dipende da due parametri liberi?
Grazie mille, saluti spaziali.
Fabio
Non ricordo bene.. e penso di non aver capito:
Applichi Rouchè-Capelli alle eq cartesiane?
Per avere una retta vuoi che lo spazio delle soluzioni abbia dimensione 1: cioè vuoi, visto che le incognite sono 3, che la matrice dei coefficienti abbia rango 2. Che poi, se ci fai caso, imporre rango 2 a quella matrice vuol dire (visto che i minori sono i parametri direttori.. o sono ad essi proporzionali) che esiste uno tra i parametri direttori diverso da zero.
Applichi Rouchè-Capelli alle eq cartesiane?
Per avere una retta vuoi che lo spazio delle soluzioni abbia dimensione 1: cioè vuoi, visto che le incognite sono 3, che la matrice dei coefficienti abbia rango 2. Che poi, se ci fai caso, imporre rango 2 a quella matrice vuol dire (visto che i minori sono i parametri direttori.. o sono ad essi proporzionali) che esiste uno tra i parametri direttori diverso da zero.
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