Un piccolo chiarimento sulla diagonalizzabilita...
Salve,
studiando la diagonalizzabilta di matrici associate ad applicazioni, mi è venuto un dubbio:
mi è stato dato un criterio necessario e sufficiente per digonalizzare una matrice il quale dice che per diagonalizzare una matrice gli autovalori trovati devono stare tutti sullo stesso campo e la molteplicita algebrica di questi deve coincidere con la molt. geometrica.
e fino a qui tutto fila... adesso pero, verificati questi due punti dovrei poter scrivere la matrice $C$ che diagonalizza quella di partenza ma se trovo un solo autovalore e di conseguenza un solo autovettore come faccio a scriverla???
Cioè la mia domanda è:
il numero di autovettori deve essere lo stesso della dimensione della matrice di partenza per poter ottenere la matrice diagonalizzante??
per es. se ho una matrice $3 x 3$ devo trovare per forza 3 autovettori per diagonalizzarla, o si puo diagonalizzare anche con 2 o 1 autovettore??
grazie per le future risposte che spero ci siano, ciao a tutti
studiando la diagonalizzabilta di matrici associate ad applicazioni, mi è venuto un dubbio:
mi è stato dato un criterio necessario e sufficiente per digonalizzare una matrice il quale dice che per diagonalizzare una matrice gli autovalori trovati devono stare tutti sullo stesso campo e la molteplicita algebrica di questi deve coincidere con la molt. geometrica.
e fino a qui tutto fila... adesso pero, verificati questi due punti dovrei poter scrivere la matrice $C$ che diagonalizza quella di partenza ma se trovo un solo autovalore e di conseguenza un solo autovettore come faccio a scriverla???
Cioè la mia domanda è:
il numero di autovettori deve essere lo stesso della dimensione della matrice di partenza per poter ottenere la matrice diagonalizzante??
per es. se ho una matrice $3 x 3$ devo trovare per forza 3 autovettori per diagonalizzarla, o si puo diagonalizzare anche con 2 o 1 autovettore??
grazie per le future risposte che spero ci siano, ciao a tutti
Risposte
Basta riflettere sulla definizione...
Se hai una matrice $3x3$ il polinomio caratteristico avrà grado $3$. Da cui possiamo avere 3 possibilità, autovalori tutti semplici, autovalore doppio e uno semplice oppure autovalore triplo.
Però sappiamo che la nostra matrice è diagonalizzabile, pertanto all'autovalore doppio corrisponderanno $2$ autovettori, o all'autovalore triplo corrisponderanno $3$ autovettori, quindi avremo sempre e comunque 3 vettori.
Se hai una matrice $3x3$ il polinomio caratteristico avrà grado $3$. Da cui possiamo avere 3 possibilità, autovalori tutti semplici, autovalore doppio e uno semplice oppure autovalore triplo.
Però sappiamo che la nostra matrice è diagonalizzabile, pertanto all'autovalore doppio corrisponderanno $2$ autovettori, o all'autovalore triplo corrisponderanno $3$ autovettori, quindi avremo sempre e comunque 3 vettori.
ti posto il mio esercizio cosi, si ragiona meglio:
data la matrice $M (3x3)$ dire se è diagonalizzabile ed eventualmente trovare la matrice che la diagonalizza:
$M= ( ( 2 , -1 , -1 ),( 0 , 2 , -2 ),( -1 , 0 , 1 ) ) $
svolgendo il pol caratteristico mi viene: $t^3-5t^2+7t=t(t^2-5t+7)==>t=0$ è un autovalore il pezzo di polinomio di secondo grado non è scomponibile in $RR$ quindi c'è un solo autovalore e di conseguenza un solo autovettore...no???
data la matrice $M (3x3)$ dire se è diagonalizzabile ed eventualmente trovare la matrice che la diagonalizza:
$M= ( ( 2 , -1 , -1 ),( 0 , 2 , -2 ),( -1 , 0 , 1 ) ) $
svolgendo il pol caratteristico mi viene: $t^3-5t^2+7t=t(t^2-5t+7)==>t=0$ è un autovalore il pezzo di polinomio di secondo grado non è scomponibile in $RR$ quindi c'è un solo autovalore e di conseguenza un solo autovettore...no???
Rileggi per bene la condizione che hai postato, la risposta è lì!
allora t=0 è un autovalore $in RR$, a questo punto devo vedere il punto delle molteplicita... e qui nasce il mio dubbio, l'unica soluzione trovata è t=0 però non capisco se ha molteplicità 1 come pensavo all'inizio, oppure se visto k è l'unica radice di un polinomio di 3° grado deve avere molteplicità 3....!!!??? nel primo caso le 2 molteplicita coinciderebbero pero avremmo un solo vettore e da li non so come concludere...
nel secondo caso avremo la molt alg. =3 ma quella geometrica = 1 perche il nucleo di quella matrice è il vettore $((1),(1),(1))$....
aiutoo ti prego non riesco a capere....
nel secondo caso avremo la molt alg. =3 ma quella geometrica = 1 perche il nucleo di quella matrice è il vettore $((1),(1),(1))$....
aiutoo ti prego non riesco a capere....
Stiamo lavorando in $RR$, il polinomio di secondo grado non è interamente scomponibile in $RR$, allora non tutti gli autovalori sono reali, pertanto la matrice non è diagonalizzabile.
ah ok che stupido è vero..... 
se non ci sono radici sul pol di 2° grado non è k non esistono, non esistono nel campo in cui lavoriamo ma esistono in $CC$ mi ero incapato non guardando oltre hai ragione....
grazie mille per l'aiuto, nei prossimi post cerchero di analizzare meglio l'esercizio comunque grazie lo stesso ciao
se non ci sono radici sul pol di 2° grado non è k non esistono, non esistono nel campo in cui lavoriamo ma esistono in $CC$ mi ero incapato non guardando oltre hai ragione....
grazie mille per l'aiuto, nei prossimi post cerchero di analizzare meglio l'esercizio comunque grazie lo stesso ciao
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