Un paio di esercizi di Geometria nello spazio!
Buonasera!
Oggi ho iniziato a fare degli esercizi di Geometria nello spazio ma non ho avuto dei bei risultati ç_ç
1) Determinare il piano per l'origine parallelo alle rette:
r: $\{(x - 2z = 0),(y + x - 1 = 0):}$
s: $\{(x - 3z + 2 = 0),(y + 2z +4 = 0):}$
2) Determinare l'equazione del piano passante per il punto (0,1,2) e contenente la retta:
r: $\{(x -2y + 4z = 0),(2x + y - z + 1 = 0):}$
Il primo ho pensato di risolverlo con la stella di piani con centro nell'origine.
Mi è venuta un equazione del tipo $ax +by + cz = 0$
Dopo di che ho pensato di trovare i valori di a, b, y mettendo a sistema le condizioni di parallelismo del piano con entrambe le rette!
Mi è venuto un sistema di 2 equazioni in 3 incognite che non saprei risolvere se non tenendo un parametro libero...
Il secondo invece ho pensato di farlo con il fascio di piani che ha la retta r come asse.
Mi è venuto $x -2y + 4z + 2kx + ky - kz + k = 0 $, poi ho sostituito a x, y, z i valori del punto per il quale deve passare la retta, ma mi si va ad annullare la k quindi mi viene 6=0 che è un po' impossibile...
Attendo fiducioso.. e intanto vi ringrazio in anticipo!
Oggi ho iniziato a fare degli esercizi di Geometria nello spazio ma non ho avuto dei bei risultati ç_ç
1) Determinare il piano per l'origine parallelo alle rette:
r: $\{(x - 2z = 0),(y + x - 1 = 0):}$
s: $\{(x - 3z + 2 = 0),(y + 2z +4 = 0):}$
2) Determinare l'equazione del piano passante per il punto (0,1,2) e contenente la retta:
r: $\{(x -2y + 4z = 0),(2x + y - z + 1 = 0):}$
Il primo ho pensato di risolverlo con la stella di piani con centro nell'origine.
Mi è venuta un equazione del tipo $ax +by + cz = 0$
Dopo di che ho pensato di trovare i valori di a, b, y mettendo a sistema le condizioni di parallelismo del piano con entrambe le rette!
Mi è venuto un sistema di 2 equazioni in 3 incognite che non saprei risolvere se non tenendo un parametro libero...
Il secondo invece ho pensato di farlo con il fascio di piani che ha la retta r come asse.
Mi è venuto $x -2y + 4z + 2kx + ky - kz + k = 0 $, poi ho sostituito a x, y, z i valori del punto per il quale deve passare la retta, ma mi si va ad annullare la k quindi mi viene 6=0 che è un po' impossibile...
Attendo fiducioso.. e intanto vi ringrazio in anticipo!
Risposte
1) Può capitare di avere un parametro libero. Assegna ad esso un valore, vedrai che l'equazione del piano sarà equivalente a quella ottenuta assegnando un diverso valore.
2)Per costruire un fascio di piani devi moltiplicare anche la prima equazione per un parametro (es. $\lambda$); avresti così ottenuto $6*\lambda=0$ e K qualsiasi (es. k=1). Non sorprende questo, in quanto il secondo piano della retta r contiene gia il punto 0,1,2
2)Per costruire un fascio di piani devi moltiplicare anche la prima equazione per un parametro (es. $\lambda$); avresti così ottenuto $6*\lambda=0$ e K qualsiasi (es. k=1). Non sorprende questo, in quanto il secondo piano della retta r contiene gia il punto 0,1,2
"Geppo":
1) Può capitare di avere un parametro libero. Assegna ad esso un valore, vedrai che l'equazione del piano sarà equivalente a quella ottenuta assegnando un diverso valore.
2)Per costruire un fascio di piani devi moltiplicare anche la prima equazione per un parametro (es. $\lambda$); avresti così ottenuto $6*\lambda=0$ e K qualsiasi (es. k=1). Non sorprende questo, in quanto il secondo piano della retta r contiene gia il punto 0,1,2
Ero venuto per modificare il messaggio dato che questi due sono riuscito a farli ma ne ho trovati altri che non so fare
Comunque.. Grazie!!
Aggiungo qua sotto quelli che non riesco a fare mo..
3) Determinare il piano passante per i punti (1,-1,2) (2,3,-1) e perpendicolare al piano
$beta:$ $x + y + z = 0$
Ho provato a determinare la retta passante per i due punti, poi ho imposto che il fascio di piani con asse r deve essere perpendicolare a $beta$ e risolto nella speranza di trovare i valori di $lambda$ e $gamma$ da inserire nel fascio per trovare il piano! Ma non mi viene...
Non capisco cosa ci sia di sbagliato nel procedimento e ho provato a rifarlo tre volte quindi non credo di aver sbagliato qualche calcolo!
Inoltre ho due esercizi che mi chiedono di trovare la proiezione ortogonale di un punto e di una retta rispetto ad un piano... cosa che non sul libro -.-
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