Un paio di domande sul polinomio minimo

[Stefano951]

Ho un paio di dimostrazioni, penso semplici, che non riesco a fare sul polinomio minimo:

1) Sia A diagonalizzabile con autovalori distinti $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$,...,$\lambda_{k}$, allora il polinomio minimo corrisponde a quello caratteristico, ovvero a $(x-\lambda_{1})$($x-\lambda_{2})$,...,$(x-\lambda_{k})$ .
Penso di aver capito che devo dimostrare che il polinomio caratteristico valutato in A si annulla, mentre non lo fa un suo qualsiasi divisore proprio.

2) Se A è diagonalizzabile in K , allora il polinomio minimo si decompone in fattori lineari distinti in K[x].

[Stefano951]

Nessuno?

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Cosa vuoi sapere?

Per la 1 ti basta sapere che il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico e ha come zeri gli autovalori (teoria).
La risposta alla 2 dipende pesantemente da cosa sai di teoria sul polinomio minimo.

[Stefano951]

"Martino":Cosa vuoi sapere?

Per la 1 ti basta sapere che il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico e ha come zeri gli autovalori (teoria).
La risposta alla 2 dipende pesantemente da cosa sai di teoria sul polinomio minimo.

Non troppo, diciamo il teorema di Hamilton-Cayley. La 1 la dovrei dimostrare senza quest'ultimo e quindi senza sapere che il minimo divide il caratteristico, è quello il problema, se no ci sono.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Allora senza Hamilton-Cayley puoi ragionare sul fatto che coniugare con una matrice invertibile non altera il polinomio minimo e il polinomio caratteristico, quindi puoi direttamente assumere che la tua matrice sia già diagonale. Se la tua matrice è diagonale diventa tutto molto facile.