U(n) gruppo unitario

[xnix]

se ho una matrice A, appartenente ai complessi, e la moltiplico per la sua aggiunta ottengo sempre la matrice identità? e quindi vale in ogni caso la relazione del gruppo delle trasformazioni h-unitarie?

[killing_buddha]

\(\displaystyle \left( \begin{array}{cc} 1 & i \\ -1 & -i\end{array} \right) \)

[xnix]

Dunque non vale sempre la relazione del gruppo unitario... e quindi secondo te quando posso parlare di gruppo unitario?.. io ho pensato che solo nel caso in cui l'aggiunta è uguale all'inversa perché solo cosi posso ottenere la matrice identità..

[killing_buddha]

$U(n) := \{A\in M_n(\mathbb C) : \overline{U}^tU=U\overline{U}^t = 1\}$

[xnix]

scusa la regola la conosco, ce non ho bisogno di te per sapere la relazione del gruppo unitario... leggi bene quello che domando se hai voglia di darmi una mano

[killing_buddha]

scusa la regola la conosco

Se e' vero, non capisco la domanda:

secondo te quando posso parlare di gruppo unitario?

Secondo me, dato un anello unitario $R$, dotato di un antiautomorfismo involutorio $a\mapsto \bar a$, si puo' definire il gruppo unitario di $M_n(R)$ come l'nsieme delle matrici $n\times n$ a ingressi in $R$ tali che $UU^\star = U^\star U = \mathbb{I}$, dove ho definito $U^\star = \bar U^t$, intendendo con cio' l'applicazione della trasposizione alla matrice e dell'antimorfismo "bar" a tutte le sue entrate, e $\mathbb{I}$ e' la matrice che al posto $(i,j)$ ha $\delta_{i,j}\cdot 1_R$. TI soddisfa?

[xnix]

si si grazie..un ultima cosa, io dunque posso considerare U^(star) come la matrice inversa di U?

[killing_buddha]

Si', perche' l'inverso bilatero di un elemento, quando esiste, e' unico.