Un esercizio teorico interessante (credo)
Ciao ragazzi, ho questo esercizio teorico che credo essere abbastanza interessante (almeno dalla mia bassissima prospettiva 
)
Sia A una matrice nxn sul campo K tale che $A^4 = E_n$. Discutere i possibili autovalori e determinanti di A per K= R,C,Z5,Z7
Mhhh.. Bene, stavo cercando una soluzione più 'concisa' possibile..
L'insieme delle matrici quadrate di ordine n è un gruppo per il prodotto RICO con elemento neutro la matrice $E_n$.
Sappiamo che per il prodotto l'unico elemento tale che se elevato ad una qualsiasi potenza diversa da 0 risulta uguale all'elemento neutro è lo stesso elemento neutro.
Primo dubbietto: Basta questo per affermare che la matrice A è dunque la matrice identità? Magari un qualche "genio maligno il sogno mi fa apparir vero"!
Partendo da questo presupposto posso concludere che il determinante sia in R che C per A sono forzatamente 1 (e non magari in C un i che il teorema di Binet, considerato il det1 dell'identità, potrebbe ammettere)? E che dunque l'autovalore per A è il singolo 1 di molteplicità algebrica e geometrica 4?
Per quanto riguarda gli insiemi quoziente? Mbho! la situazione sembra incasinarsi non poco visto che per il prodotto con le classi di resto possiamo avere elementi nulli anche con fattori non nulli :O
Ma forse sui quoz mi sto incasinando.
Cosa ne pensate ?
Lo so ,lo so, sono una capra!
)Sia A una matrice nxn sul campo K tale che $A^4 = E_n$. Discutere i possibili autovalori e determinanti di A per K= R,C,Z5,Z7
Mhhh.. Bene, stavo cercando una soluzione più 'concisa' possibile..
L'insieme delle matrici quadrate di ordine n è un gruppo per il prodotto RICO con elemento neutro la matrice $E_n$.
Sappiamo che per il prodotto l'unico elemento tale che se elevato ad una qualsiasi potenza diversa da 0 risulta uguale all'elemento neutro è lo stesso elemento neutro.
Primo dubbietto: Basta questo per affermare che la matrice A è dunque la matrice identità? Magari un qualche "genio maligno il sogno mi fa apparir vero"!
Partendo da questo presupposto posso concludere che il determinante sia in R che C per A sono forzatamente 1 (e non magari in C un i che il teorema di Binet, considerato il det1 dell'identità, potrebbe ammettere)? E che dunque l'autovalore per A è il singolo 1 di molteplicità algebrica e geometrica 4?
Per quanto riguarda gli insiemi quoziente? Mbho! la situazione sembra incasinarsi non poco visto che per il prodotto con le classi di resto possiamo avere elementi nulli anche con fattori non nulli :O
Ma forse sui quoz mi sto incasinando.
Cosa ne pensate ?
Lo so ,lo so, sono una capra!
Risposte
"Kappagibbi":
Sappiamo che per il prodotto l'unico elemento tale che se elevato ad una qualsiasi potenza diversa da 0 risulta uguale all'elemento neutro è lo stesso elemento neutro.
$((-1, 0),(0, -1))^2 = I_n$ no?
E questo per $RR$... se poi passiamo in $CC$
Comunque puoi considerare l'isomorfismo che ha $A$ come matrice associata alla base canonica $f(x) = Ax$ dove $x \in RR^n$; hai quindi dalla definizione che $f^4(x) = A^4x = x$. Supponiamo che $y$ sia autovettore per $f$ di autovalore $\lambda$, allora hai che...
Ecco :'( tutti i miei piani di conquista del mondo sono saltati :'(
$A^4y=lambday rArr lambda=1?$
Cavolo, autonomamente non ci avrei mai pensato uff !
Cavolo, autonomamente non ci avrei mai pensato uff !
$A^4y=lambday rArr lambda=1?$
Cavolo, autonomamente non ci avrei mai pensato uff !
E per quanto riguarda i determinanti possibili?
Posso concludere che per :
R= 1,-1
C=1,-1,i
Z5=[1]
Z7=[1]?
..E io che volevo fare il figo
!
Cavolo, autonomamente non ci avrei mai pensato uff !
E per quanto riguarda i determinanti possibili?
Posso concludere che per :
R= 1,-1
C=1,-1,i
Z5=[1]
Z7=[1]?
..E io che volevo fare il figo
!
"Kappagibbi":
$A^4y=lambday rArr lambda=1?$
Hai che $y = A^4y = f^4(y) = \lambda^4y$ ovvero $\lambda^4 = 1$
"Kappagibbi":
R= 1,-1
C=1,-1,i
Z5=[1]
Z7=[1]
Beh devi "semplicemente" risolvere $x^4 = 1$ in ognuno di questi campi... in $RR$ è giusto, in $CC$ manca $-i$, e negli altri due campi non è detto siano solo quelli... per esempio, in $ZZ_5$, $[2]^4 = [16] = [1]$.
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