Un esercizio sui rivestimenti
Let $p:E \rightarrow B$ a covering map; let $B$ be connected. Show that if $p^{-1}(b_0)$ has $k$ elements for some $b_0 \in B$ then $p^{-1}(b)$ has $k$ elements for every $b \in B$.
Poichè $p$ è un rivestimento esiste un intorno $I_{b_0}$ di $b_0$ che è evenly covered (non so come si dice in italiano XD) cioe esiste una famiglia di aperti disgiunti tali che $p^{-1}(I_{b_0})=\bigcup V_i$ e $p|V_i$ è un omeomorfismo tra $V_i$ e $I_{b_0}$. Siccome ogni $V_i$ interseca $p^{-1}(b_0)$ in un punto diverso segue che ci sono esattamente $k$ aperti $V_1,V_2,...,V_k$. Quindi se $b$ è un altro punto di $I_{b_0}$ allora $|p^{-1}(b)|=k$ perchè ogni $V_i$ interseca $p^{-1}(b)$ esattamente in un punto. Abbiamo mostrato che per tutti gli elementi $b \in I_{b_0}$ vale $|p^{-1}(b)|=k$. Ora per ogni punto $b \in B$ denotiamo con $I_b$ un intorno evenly covered che lo contiene e consideriamo i due insiemi seguenti
$B_k = {b \in B| |p^{-1}(b)|=k}= \bigcup_{b \in B_k} I_b$
$B-B_k = \bigcup_{b \in B-B_k} I_b$
Se esiste un elemento $b \in B$ tale che $|p^{-1}(b)| \ne k$ allora $B-B_k$ non è vuoto e i due insiemi suddetti costituiscono una separazione di $B$. Assurdo.
Che mi dite? grazie!
Poichè $p$ è un rivestimento esiste un intorno $I_{b_0}$ di $b_0$ che è evenly covered (non so come si dice in italiano XD) cioe esiste una famiglia di aperti disgiunti tali che $p^{-1}(I_{b_0})=\bigcup V_i$ e $p|V_i$ è un omeomorfismo tra $V_i$ e $I_{b_0}$. Siccome ogni $V_i$ interseca $p^{-1}(b_0)$ in un punto diverso segue che ci sono esattamente $k$ aperti $V_1,V_2,...,V_k$. Quindi se $b$ è un altro punto di $I_{b_0}$ allora $|p^{-1}(b)|=k$ perchè ogni $V_i$ interseca $p^{-1}(b)$ esattamente in un punto. Abbiamo mostrato che per tutti gli elementi $b \in I_{b_0}$ vale $|p^{-1}(b)|=k$. Ora per ogni punto $b \in B$ denotiamo con $I_b$ un intorno evenly covered che lo contiene e consideriamo i due insiemi seguenti
$B_k = {b \in B| |p^{-1}(b)|=k}= \bigcup_{b \in B_k} I_b$
$B-B_k = \bigcup_{b \in B-B_k} I_b$
Se esiste un elemento $b \in B$ tale che $|p^{-1}(b)| \ne k$ allora $B-B_k$ non è vuoto e i due insiemi suddetti costituiscono una separazione di $B$. Assurdo.
Che mi dite? grazie!
Risposte
Grazie Paolo 
Gran bel topic.
Gran bel topic.
Ho un dubbio sul problema successivo
Let $q:X \rightarrow Y$ e $r: Y \rightarrow Z$ be covering maps; let $p=r \circ q$. Show that if $r^{-1}(z)$ is finite for each $z \in Z$ then $p$ is a covering map.
Ho cercato e trovato questa soluzione che però non capisco. Quando fa quell'intersezione, come fa ad applicare $p:X \rightarrow Z$ all'intorno $V'_i \subset Y$ ?? grazie
Let $q:X \rightarrow Y$ e $r: Y \rightarrow Z$ be covering maps; let $p=r \circ q$. Show that if $r^{-1}(z)$ is finite for each $z \in Z$ then $p$ is a covering map.
Ho cercato e trovato questa soluzione che però non capisco. Quando fa quell'intersezione, come fa ad applicare $p:X \rightarrow Z$ all'intorno $V'_i \subset Y$ ?? grazie
Aggiungo anche questo
Se $p:E \rightarrow B$ è un rivestimento e inoltre $B$ è Hausdorff allora $E$ è Hausdorff.
Sia $V$ un aperto di $B$ evenly covered, allora $p^{-1}(V)= \bigcup E_{\alpha}$ e ogni $E_{\alpha}$ è isomorfo a $V$ che è Hausdorff (perchè sottospazio di un Hausdorff). Siano $x,y \in p^{-1}(V)$ allora $x \in E_\alpha$ e $y \in E_\beta$ per opportuni indici. Se $\alpha \ne \beta$ tutto ok abbiamo trovato due intorni disgiunti, altrimenti $\alpha = \beta$ e basta ricordare che $E_\alpha$ è Hausdorff e che ogni aperto di $E_\alpha$ è aperto in $E$. L'arbitrarietà di $V$ e il fatto che $p$ è un rivestiimento completano la dimostrazione. Che mi dite?
Se $p:E \rightarrow B$ è un rivestimento e inoltre $B$ è Hausdorff allora $E$ è Hausdorff.
Sia $V$ un aperto di $B$ evenly covered, allora $p^{-1}(V)= \bigcup E_{\alpha}$ e ogni $E_{\alpha}$ è isomorfo a $V$ che è Hausdorff (perchè sottospazio di un Hausdorff). Siano $x,y \in p^{-1}(V)$ allora $x \in E_\alpha$ e $y \in E_\beta$ per opportuni indici. Se $\alpha \ne \beta$ tutto ok abbiamo trovato due intorni disgiunti, altrimenti $\alpha = \beta$ e basta ricordare che $E_\alpha$ è Hausdorff e che ogni aperto di $E_\alpha$ è aperto in $E$. L'arbitrarietà di $V$ e il fatto che $p$ è un rivestiimento completano la dimostrazione. Che mi dite?
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