Un esercizio con un cilindro
Buongiorno,
stavo cercando un forum dove porre due esercizi per cui sono bloccato, sto seguendo un corso di geometria e ho studiato la teoria ma sono bloccato al lato pratico, e spero in qualche aiuto da qualcuno
Avrei un primo esercizio molto base dove si chiede:
Calcolare la curvatura Gaussiana del cilindro $x^2+y^2=R^2$
il mio problema è che conosco la mappa di gauss e il suo differenziale, ma in questo caso pratico non so come intervenire per calcolarla. Vorrei quindi chiedere un aiuto per farlo.
Grazie a tutti.
stavo cercando un forum dove porre due esercizi per cui sono bloccato, sto seguendo un corso di geometria e ho studiato la teoria ma sono bloccato al lato pratico, e spero in qualche aiuto da qualcuno
Avrei un primo esercizio molto base dove si chiede:
Calcolare la curvatura Gaussiana del cilindro $x^2+y^2=R^2$
il mio problema è che conosco la mappa di gauss e il suo differenziale, ma in questo caso pratico non so come intervenire per calcolarla. Vorrei quindi chiedere un aiuto per farlo.
Grazie a tutti.
Risposte
La curvatura di un cilindro e' nulla.
Puoi prendere un foglio di carta, che ha curvatura nulla, e arrotolarlo per farne un cilindro.
Puoi prendere un foglio di carta, che ha curvatura nulla, e arrotolarlo per farne un cilindro.
Ciao, grazie per la risposta.
Questo è verissimo, però è solo l'intuizione. Io vorrei capire come svolgere l'esercizio. Non so se al prof andrebbe troppo bene come risposta
Questo è verissimo, però è solo l'intuizione. Io vorrei capire come svolgere l'esercizio. Non so se al prof andrebbe troppo bene come risposta
Per $y >0$ puoi scrivere la parametrizzazione $(x,sqrt(R^2-x^2),z)$ e usare formule conosciute.
Ciao e grazie mille per la risposta.
Posso chiederti a quali formule alludi, perché conosco la curvatura come diversi modi, mi spiego
La curvatura mi è stata definita come $K:=det(-d_pN)$
Siccome la seconda forma fondamentale è $<-d_pN(phi_u),phi_v>$ la quale ha rappresentazione matriciale
\[
\begin{pmatrix}
e & f \\
f & g
\end{pmatrix}
\]
Se poi introduciamo la rappresentazione matriciale per $d_pN$
\[
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{2,1} & a_{2,2}
\end{pmatrix}
\]
con $a_(1,1)phi_u+a_(2,)phi_v=d_pN(phi_u)$ ecc
e per la I forma fondamentale ho:
\[
\begin{pmatrix}
\phi_u*\phi_u & \phi_u*\phi_v \\
\phi_v*\phi_u & \phi_v*\phi_v
\end{pmatrix}
\]
e scrivendole assieme ho la rappresentazione di $<-d_pN(phi_u),phi_v>$ matrciale
\[
\begin{pmatrix}
e & f \\
f & g
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{2,1} & a_{2,2}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
\phi_u \cdot \phi_u & \phi_u \cdot \phi_v \\
\phi_v \cdot \phi_u & \phi_v \cdot \phi_v
\end{pmatrix}
\]
poi si fa il determinante e si raccoglie ottenendo la curvatura da queste considerazioni: $(fg-f^2)/(EG-F^2)$
Io queste cose a livello teorico le ho capite ma non ho compreso come calcolo effettivamente le varie: $a_(i,i)$; $e,f,g$.
Ti ringrazio per l'aiuto perché non so come uscirne, ci penso da tutto il tempo se c'è un modo più comodo
PS:
per essere più chiaro intendo che io per trovare e,f g dovrei calcolarmi robe del tipo $<-d_pN(phi_u),phi_v>$ quindi scrivermi $N_p$ vederne la rappresentazione matriciale di $dN_p$ poi applicarlo a $phi_u$ e moltiplicarlo per $phi_v$ (tutte matrici: un casotto!).
Online ho appena visto che alcuni dicono di calcolare: $e(u, v)=\langle phi_{u u}, N\rangle, \quad f(u,v)=\langle phi_{u v}, N\rangle,\quad g(u,v)=\langle phi_{v v}, N\rangle$, ma nn capisco come ricavarle dal discorso fatto prima
qualche idea se sia giusto e percome?
Posso chiederti a quali formule alludi, perché conosco la curvatura come diversi modi, mi spiego
La curvatura mi è stata definita come $K:=det(-d_pN)$
Siccome la seconda forma fondamentale è $<-d_pN(phi_u),phi_v>$ la quale ha rappresentazione matriciale
\[
\begin{pmatrix}
e & f \\
f & g
\end{pmatrix}
\]
Se poi introduciamo la rappresentazione matriciale per $d_pN$
\[
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{2,1} & a_{2,2}
\end{pmatrix}
\]
con $a_(1,1)phi_u+a_(2,)phi_v=d_pN(phi_u)$ ecc
e per la I forma fondamentale ho:
\[
\begin{pmatrix}
\phi_u*\phi_u & \phi_u*\phi_v \\
\phi_v*\phi_u & \phi_v*\phi_v
\end{pmatrix}
\]
e scrivendole assieme ho la rappresentazione di $<-d_pN(phi_u),phi_v>$ matrciale
\[
\begin{pmatrix}
e & f \\
f & g
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{2,1} & a_{2,2}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
\phi_u \cdot \phi_u & \phi_u \cdot \phi_v \\
\phi_v \cdot \phi_u & \phi_v \cdot \phi_v
\end{pmatrix}
\]
poi si fa il determinante e si raccoglie ottenendo la curvatura da queste considerazioni: $(fg-f^2)/(EG-F^2)$
Io queste cose a livello teorico le ho capite ma non ho compreso come calcolo effettivamente le varie: $a_(i,i)$; $e,f,g$.
Ti ringrazio per l'aiuto perché non so come uscirne, ci penso da tutto il tempo se c'è un modo più comodo
PS:
per essere più chiaro intendo che io per trovare e,f g dovrei calcolarmi robe del tipo $<-d_pN(phi_u),phi_v>$ quindi scrivermi $N_p$ vederne la rappresentazione matriciale di $dN_p$ poi applicarlo a $phi_u$ e moltiplicarlo per $phi_v$ (tutte matrici: un casotto!).
Online ho appena visto che alcuni dicono di calcolare: $e(u, v)=\langle phi_{u u}, N\rangle, \quad f(u,v)=\langle phi_{u v}, N\rangle,\quad g(u,v)=\langle phi_{v v}, N\rangle$, ma nn capisco come ricavarle dal discorso fatto prima
qualche idea se sia giusto e percome?
@Martino: ho detto stupidate vero?
La non risposta mi fa supporre che sono fuori strada
La non risposta mi fa supporre che sono fuori strada
Scusami, ma per un cilindro "semplice" non mi sembra nulla di complicato. Le formule le hai anche gia' scritte.
Faccio riferimento a questa notazione
https://it.wikipedia.org/wiki/Superfici ... e_di_Gauss
Prendiamo una parametrizzazione
$phi = sin u, psi= cos u, chi= v$
$phi_u = cos u, psi_u= -sin u, chi_u = 0$
$phi_v = 0, psi_v= 0, chi_v = 1$
$E = phi_u^2 + psi_u^2+ chi_u^2 = 1$
$F = phi_u\ phi_v + psi_u\ psi_v + chi_u\ chi_v = 0$
$G = phi_v^2 + psi_v^2 + chi_v^2 = 1$
I forma fondamentale:
$EG - F^2 = 1$
Non so se e' questo che cercavi...
Faccio riferimento a questa notazione
https://it.wikipedia.org/wiki/Superfici ... e_di_Gauss
Prendiamo una parametrizzazione
$phi = sin u, psi= cos u, chi= v$
$phi_u = cos u, psi_u= -sin u, chi_u = 0$
$phi_v = 0, psi_v= 0, chi_v = 1$
$E = phi_u^2 + psi_u^2+ chi_u^2 = 1$
$F = phi_u\ phi_v + psi_u\ psi_v + chi_u\ chi_v = 0$
$G = phi_v^2 + psi_v^2 + chi_v^2 = 1$
I forma fondamentale:
$EG - F^2 = 1$
Non so se e' questo che cercavi...
Le formule le hai anche gia' scritteil fatto è che mi sembrano un po' diverse dalle formule che ho scritto io, ti riferisci alle marici?
Mi sembra che il risultato di cui parli nella pagina sia raggiunt in modo teorico diverso da quello affrontato nel mio messaggio, ma forse sbaglio. Tu riesci a cogliere il legame?
grazie
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