Un dubbio sulle applicazioni lineari

[olanda2000]

Se ho l'applicazione $ f $ da $R^3$ a $R^2$ : $ f(x,y,z)= (2x+y,y-z) $,
scelgo le basi canoniche , e la applico al vettore $ f(1,2,3)$ ottengo il vettore (4,-1).

Domanda: il vettore argomento dell'applicazione si intende per forza scritto rispetto alla base canonica del dominio ?

Infatti se cambiassi base nel dominio $ R^3 : (1,-2,-2) ,(0,1,1), (0,0,1) $ e nel codominio $ R^2 : (1,1),(1,-1 ). $

e scrivessi il vettore (1,2,3) come combinazione lineare dei vettori della nuova base , cioè $(1,2,3)=a(1,-2,-2) +b(0,1,1)+c(0,0,1) $ otterrei : $ (1,4,1) $

poi applico $ f(1,4,1) = (6,3) $

Ma il vettore (6,3) in che base è espresso? Nella nuova base del codominio? Non mi sembra! E neppure rispetto a quella canonica.

Grazie

[Studente Anonimo]

Quando si scrive:

$T:RR^3 rarr RR^2$

$[[x],[y],[z]] rarr [[2x+y],[y-z]]$

le due scritture sottostanti:

$[[x],[y],[z]] in RR^3$

$[[2x+y],[y-z]] in RR^2$

devono essere intese, non in termini relativi, come componenti delle ennuple rispetto a una qualche base, piuttosto, in termini assoluti, come ennuple di numeri reali. Proprio per questo, poiché:

$[[x],[y],[z]]=x[[1],[0],[0]]+y[[0],[1],[0]]+z[[0],[0],[1]]$

$[[2x+y],[y-z]]=(2x+y)[[1],[0]]+(y-z)[[0],[1]]$

è assolutamente implicito che le due basi siano quelle naturali e si commetterebbe un grave errore concettuale nel ritenere che il testo sia incompleto. Spero di essermi spiegato.

[olanda2000]

grazie ho capito