Un dubbio sul teorema di esistenza e unicità del prolungamento per linearità

[mklplo751]

Salve. A Geometria 1 abbiamo fatto un risultato che mi ha interessato particolarmente e su cui mi è sorto un dubbio. Il risultato in questione è quello che ci dice che presi due spazi vettoriali $V$ e $W$ con $V$ finitamente generato e preso un riferimento (base ordinata) su $V$ e un insieme ordinato di vettori di $W$ equipotente a questo riferimento, allora se ho una funzione dal riferimento questo insieme ordinato esiste un'unica estensione per linearità tra $V$ e $W$
Ora, da quello che ho capito, l'ipotesi della lineare indipendenza dei vettori della funzione di partenza servono per garantire l'esistenza; tuttavia mi chiedo se effettivamente sia necessaria la condizione che $V$ sia finitamente generato, o se l'enunciato fosse ancora vero in generale o servisse qualche ipotesi extra. Se non vi reca disturbo, potreste togliermi questo dubbio?

[j18eos]

A me l'unico teorema che viene in mente è il seguente:

Teorema Fondamentale delle Applicazioni Lineari: Siano $\mathbb{V}$ e $\mathbb{W}$ spazi vettoriali, $\mathcal{B}=\{\underline{e}_i\}_{i\in I}$ una base di $\mathbb{V}$ ed $S=\{\underline{w}_i\}_{i\in I}$ un sistema di vettori di $\mathbb{W}$. Allora esiste un'unica applicazione lineare $f:\mathbb{V}\to\mathbb{W}$ tale che $\forall i\in I,f(\underline{e}_i)=\underline{w}_i$.

È questo?

[mklplo751]

Sì...mi sono espresso in maniera così terribile?

[j18eos]

No: hai aggiunto l'ipotesi della base ordinata che non serve, ma niente di tragico

Poi l'idea di estendere per linearità è assolutamente corretta.

[mklplo751]

Ah, ok, che il professore ci teneva all'ipotesi.
Grazie.