Un cono nello spazio è SEMPRE un polinomio omogeneo?
Salve a tutti. Questo è il mio primo thread, spero di essere abbastanza chiaro e di aver messo un titolo pertinente.
Sto studiando la Geometria Analitica dello Spazio (il libro di testo è il Greco, Valabrega "Lezioni di Geometria Vol. 2- Geometria Analitica"), e mi sono imbattuto in questo Teorema riguardante i coni:
"Una funzione \(\displaystyle f(x,y,z) \) si dice omogenea di grado k se si ha \(\displaystyle f(tx,ty,tz)=(t^k)*f(x,y,z) \) per ogni scelta di t, x, y, z.
E' facile verificare che se \(\displaystyle f(x,y,z) \) è una funzione omogenea, la superficie \(\displaystyle S: f(x,y,z)=0 \) è un cono di vertice l'origine, e che viceversa se S è un cono di vertice O, si ha \(\displaystyle S: f(x,y,z)=0 \) dove f è una funzione omogenea"
Ora, ecco la mia domanda: poiché l'equazione cartesiana di un cono è un polinomio, è corretto dire che "nella pratica, per riconoscere se un'equazione algebrica rappresenta un cono di vertice O, basta vedere se tale equazione è un polinomio omogeneo (cioè formato da una somma di monomi tutti dello stesso grado) nelle variabili x,y,z" ?
Poi, se il grado del polinomio è 1, allora l'equazione rappresenterà un piano passante per l'origine, che può essere considerato come un cono la cui direttrice è una retta, giusto?
Faccio un esempio: l'equazione \(\displaystyle x^3-3xy^2-z^3=0 \) è un'equazione in cui abbiamo un polinomio omogeneo di grado 3, dunque è l'equazione di un cono passante per l'origine.
O esistono altre funzioni omogenee che non sono polinomi e che possono rappresentare dei coni nello spazio? E se si, potreste farmi un esempio?
Ringrazio chi vorrà rispondermi, in questi caldi giorni di agosto
Sto studiando la Geometria Analitica dello Spazio (il libro di testo è il Greco, Valabrega "Lezioni di Geometria Vol. 2- Geometria Analitica"), e mi sono imbattuto in questo Teorema riguardante i coni:
"Una funzione \(\displaystyle f(x,y,z) \) si dice omogenea di grado k se si ha \(\displaystyle f(tx,ty,tz)=(t^k)*f(x,y,z) \) per ogni scelta di t, x, y, z.
E' facile verificare che se \(\displaystyle f(x,y,z) \) è una funzione omogenea, la superficie \(\displaystyle S: f(x,y,z)=0 \) è un cono di vertice l'origine, e che viceversa se S è un cono di vertice O, si ha \(\displaystyle S: f(x,y,z)=0 \) dove f è una funzione omogenea"
Ora, ecco la mia domanda: poiché l'equazione cartesiana di un cono è un polinomio, è corretto dire che "nella pratica, per riconoscere se un'equazione algebrica rappresenta un cono di vertice O, basta vedere se tale equazione è un polinomio omogeneo (cioè formato da una somma di monomi tutti dello stesso grado) nelle variabili x,y,z" ?
Poi, se il grado del polinomio è 1, allora l'equazione rappresenterà un piano passante per l'origine, che può essere considerato come un cono la cui direttrice è una retta, giusto?
Faccio un esempio: l'equazione \(\displaystyle x^3-3xy^2-z^3=0 \) è un'equazione in cui abbiamo un polinomio omogeneo di grado 3, dunque è l'equazione di un cono passante per l'origine.
O esistono altre funzioni omogenee che non sono polinomi e che possono rappresentare dei coni nello spazio? E se si, potreste farmi un esempio?
Ringrazio chi vorrà rispondermi, in questi caldi giorni di agosto
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