Ultimo passaggio (Im.f & Ker.f)
ragazzi cercavo in giro esercizi guidati per trovare immagine e ker, quando incappai in questo:
ora il procedimento che fa mi è chiaro, però non capisco l'ultimo passaggio quando dice "siamo passati dalla forma parametrica alla cartesiana eliminando i parametri" come ha fatto? potreste spiegarmelo cortesemente.
ora il procedimento che fa mi è chiaro, però non capisco l'ultimo passaggio quando dice "siamo passati dalla forma parametrica alla cartesiana eliminando i parametri" come ha fatto? potreste spiegarmelo cortesemente.
Risposte
Hai l'equazione parametrica del piano:
$(x,y,z)=\lambda (1,0,2)+\mu(1,2,0)$
Il sistema associato è:
$x+2z=0$
$x+2y=0$
da cui si ricava
$z=y$
$x=-2y$
Perciò ho un unico parametro libero (la y) e quindi ottengo una base delle soluzioni per $y=1$
da cui si ricava $x=-2, y=1, z=1$
Perciò l'equazione cartesiana è:
$-2x+y+z=0$
da cui moltiplicando tutto per -1 si ottiene:
$2x-y-z=0$
$(x,y,z)=\lambda (1,0,2)+\mu(1,2,0)$
Il sistema associato è:
$x+2z=0$
$x+2y=0$
da cui si ricava
$z=y$
$x=-2y$
Perciò ho un unico parametro libero (la y) e quindi ottengo una base delle soluzioni per $y=1$
da cui si ricava $x=-2, y=1, z=1$
Perciò l'equazione cartesiana è:
$-2x+y+z=0$
da cui moltiplicando tutto per -1 si ottiene:
$2x-y-z=0$
grazie 1000 misanino, ma quindi bisogna fare un sistema omogeneo ponendo l'equazioni uguali a 0 come nel Ker solo che in questo caso delle colonne L.I.
"Federicosnake":
grazie 1000 misanino, ma quindi bisogna fare un sistema omogeneo ponendo l'equazioni uguali a 0 come nel Ker solo che in questo caso delle colonne L.I.
Esattamente.
Devi proprio fare il sistema omogeneo
potresti correggermi allora questo esercizio perfavore 
:
[tex]f(x,y,z)=(2x+y,2x+4y,3x-3z)[/tex] faccio la matrice $ | ( 2 , 1 , 0 ),( 2 , 4 , 0 ),( 3 , 0 , -3 ) | $ il cui determinante è -18 quindi sono tutti L.I. e il rango è 3
quindi agisco come nel foglio: [tex]Im(f) = Span ((2,2,3),(1,4,0),(0,0,-3)) = Span ((2,2,3),(1,4,0),(0,0,-3)) = {lambda(2,2,3) + µ(1,4,0) +phi(0,0,-3) :lambda,µ,phi appartengono R } = } {(x,y,z) appartengono a R^3: -4x+y=0
$ { ( 2x+2y+3z=0 ),( x+4y=0 ),( -3z=0 ):} $ $ { ( 2x+2y+3z ),( x=-4y ),( z=0 ):} $ e ne consegue (-4,1,0)[/tex]
:[tex]f(x,y,z)=(2x+y,2x+4y,3x-3z)[/tex] faccio la matrice $ | ( 2 , 1 , 0 ),( 2 , 4 , 0 ),( 3 , 0 , -3 ) | $ il cui determinante è -18 quindi sono tutti L.I. e il rango è 3
quindi agisco come nel foglio: [tex]Im(f) = Span ((2,2,3),(1,4,0),(0,0,-3)) = Span ((2,2,3),(1,4,0),(0,0,-3)) = {lambda(2,2,3) + µ(1,4,0) +phi(0,0,-3) :lambda,µ,phi appartengono R } = } {(x,y,z) appartengono a R^3: -4x+y=0
$ { ( 2x+2y+3z=0 ),( x+4y=0 ),( -3z=0 ):} $ $ { ( 2x+2y+3z ),( x=-4y ),( z=0 ):} $ e ne consegue (-4,1,0)[/tex]
"Federicosnake":
potresti correggermi allora questo esercizio perfavore
[tex]f(x,y,z)=(2x+y,2x+4y,3x-3z)[/tex] faccio la matrice $ | ( 2 , 1 , 0 ),( 2 , 4 , 0 ),( 3 , 0 , -3 ) | $ il cui determinante è -18 quindi sono tutti L.I. e il rango è 3
quindi agisco come nel foglio: [tex]Im(f) = Span ((2,2,3),(1,4,0),(0,0,-3)) = Span ((2,2,3),(1,4,0),(0,0,-3)) = {lambda(2,2,3) + µ(1,4,0) +phi(0,0,-3) :lambda,µ,phi appartengono R } = } {(x,y,z) appartengono a R^3: -4x+y=0
$ { ( 2x+2y+3z=0 ),( x+4y=0 ),( -3z=0 ):} $ $ { ( 2x+2y+3z ),( x=-4y ),( z=0 ):} $ e ne consegue (-4,1,0)[/tex]
No.
Hai infatti:
${ ( 2x+2y+3z=0 ),( x+4y=0 ),( -3z=0 ):} $
e quindi hai dalla terza $z=0$ e le altre 2 diventano:
${ ( 2x+2y=0 ),( x+4y=0 ):} $
da cui si ottiene anche $x=0$, $y=0$
Infatti ti potevi subito accorgere che non aveva senso andare a cercare equazioni cartesiane.
Hai infatti una base di 3 elementi in $RR^3$ e quindi Im(f) è tutto $RR^3$ e quindi non ha molto senso andare a determinarne le equazioni cartesiane!
misasino grazie 
! quindi bisogna calcolarle solo nel caso in cui Im(f) non sia tutto $ R^3 $ perfetto 
un' altra domanda scusami: siccome nell' esempio che ti ho riportato nel mio ultimo messaggio c'è scritto anche di diagonalizzare se fosse possibile, come devo fare? in questo modo?:
$ | ( 2-lambda , 1 , 0 ),( 2 , 4-lambda , 0 ),( 3 , 0 , -3-lambda ) | $ e trovare gli autovalori? o sto toppando completamente?
! quindi bisogna calcolarle solo nel caso in cui Im(f) non sia tutto $ R^3 $ perfetto un' altra domanda scusami: siccome nell' esempio che ti ho riportato nel mio ultimo messaggio c'è scritto anche di diagonalizzare se fosse possibile, come devo fare? in questo modo?:
$ | ( 2-lambda , 1 , 0 ),( 2 , 4-lambda , 0 ),( 3 , 0 , -3-lambda ) | $ e trovare gli autovalori? o sto toppando completamente?
Stai facendo bene.
trova gli autovaòlori.
Poi trova una base di autovettori.
Metti i vettori trovati come vettori colonna in una matrice che chiami M.
Allora, detta A la matrice di partenza, $M^(-1)AM$ è diagonale ed è la diagonalizzazione di A
trova gli autovaòlori.
Poi trova una base di autovettori.
Metti i vettori trovati come vettori colonna in una matrice che chiami M.
Allora, detta A la matrice di partenza, $M^(-1)AM$ è diagonale ed è la diagonalizzazione di A
mi vengono dei valori decimali stranissimo, troppo strano a dir la verità :/
"Federicosnake":
mi vengono dei valori decimali stranissimo, troppo strano a dir la verità :/
Se vuoi riporta procedimento e calcoli che te li controllo
allora faccio così: $ (2- lambda)(4-lambda)(-3-lambda) - [2(-3-lambda)] $ da qui poi alla fine di ogni moltiplicazione mi viene $ lambda^3 - 3lambda^2 - 12lambda + 18 = 0 $ :S
Fino a qui tutto giusto.
Ora che autovalori ti vengono?
Ora che autovalori ti vengono?
t premetto che ho risolto questa equazione con un software e i valori vengono $ lambda = 4.732051, -3, 1.267949 $
"Federicosnake":
t premetto che ho risolto questa equazione con un software e i valori vengono $ lambda = 4.732051, -3, 1.267949 $
Fai un passaggio in più, così vediamo se diventa più chiaro (anche se non so).
-3 annulla questo polinomio.
Perciò scomponi con ruffini e vedi cosa ti esce
oddio non c' avevo pensato a ruffini, ora lo faccio
allora viene $ (lambda+3)(lambda^2-6lambda+6) = 0 $ quindi $ lambda = -3 ; lambda = 3 $ $ \pm root(2)(3)
allora viene $ (lambda+3)(lambda^2-6lambda+6) = 0 $ quindi $ lambda = -3 ; lambda = 3 $ $ \pm root(2)(3)
Esatto.
Ora hai 3 autovalori distinti e quindi la matrice è diagonalizzabile.
Ti basta calcolare quindi un autovettore per ogni autovalore e costruire la matrice che ha per colonne tali autovettori
Ora hai 3 autovalori distinti e quindi la matrice è diagonalizzabile.
Ti basta calcolare quindi un autovettore per ogni autovalore e costruire la matrice che ha per colonne tali autovettori
allora sostituendo il valore di $ lambda $ nella matrice mi viene con "-3" $ | ( -1 , 1 , 0 ),( 2 , 7 , 0 ),( 3 , 0 , 0 ) | $ da cui se non erro $ { ( -x+y=0 ),( 2x+7y=0 ),( 3x=0 ):} $
con gli altri due risultati viene invece $ | ( -1+\-sqrt(3) , 1 , 0 ),( 2 , 1+\-sqrt(3) , 0 ),( 3 , 0 , -6+\-sqrt(3) ) | $ da qui $ { ( [-1+\-sqrt(3)]x+y=0 ),( 2x+ [1+\-sqrt(3)]y=0 ),( 3x+[-6+\-sqrt(3)]z=0 ):} $
ora mi sono bloccato però :S
quindi una matrice è diagonalizzabile solo se ha tutti gli autovalori differenti
con gli altri due risultati viene invece $ | ( -1+\-sqrt(3) , 1 , 0 ),( 2 , 1+\-sqrt(3) , 0 ),( 3 , 0 , -6+\-sqrt(3) ) | $ da qui $ { ( [-1+\-sqrt(3)]x+y=0 ),( 2x+ [1+\-sqrt(3)]y=0 ),( 3x+[-6+\-sqrt(3)]z=0 ):} $
ora mi sono bloccato però :S
quindi una matrice è diagonalizzabile solo se ha tutti gli autovalori differenti
allora vedendo un altro esempio ho capito come proseguire 
"Federicosnake":
allora vedendo un altro esempio ho capito come proseguire
Comunque prima ti usciva una matrice sbagliata perchè hai sostituito 3 invece di -3
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