Uguaglianze tra sottospazi vettoriali e base di essi
Ho il seguente problema, in cui mi si chiede di dire se determinate affermazioni sono vere o false e di indicare una base per il sottospazio $ A $
In $ V_5(R) $ sia $ A $ il sottospazio lineare generato dai seguenti vettori
$ A_1=(1,2,1,0,0) $
$ A_2=(1,0,-1,0,0) $
$ A_3=(1,1,0,0,0) $
$ A_4=(0,1,1,0,0) $
e $ B $ il sottospazio lineare soluzione del seguente sistema
$ { ( x_1+x_2=0 ),( x_2+x_3=0 ),( x_3+x_4=0 ),( x_4+x_5=0 ):} $
-) Parto dalla base per il sottospazio di A:
Mi chiede, in prima battuta se l'insieme $ (A_1,A_2,A_3,A_4) $ è indipendente, e in caso negativo di indicare quali vettori conserverei per avere una base di $ A $ .
L'insieme $ A $ è indipendente, e si può notare subito in quanto sicuro non ha $rank(A)=4$
In ogni caso riducendo la matrice, mi si conservano i vettori $A_3$ e $A_4$, i quali saranno quindi una base per $A$.
Da notare che, visto che mi chiedeva quali vettore conservare tra i dati, io ho ridotto la matrice che ho scritto considerando i vettori non in colonna, ma così come mi sono stati dati, ossia:
$ ( ( 1 , 2 , 1 , 0,0 ),( 1 , 0 , -1 , 0, 0 ),( 1 , 1 , 0 , 0, 0 ),( 0 , 1 , 1 , 0,0 ) ) $
-)Mi chiede poi di dire se sono vere o meno le seguenti affermazioni. Affianco le mie risposte
1- $ L(Auu B)=A+B $ vera
2- $ (A+B)^_|_ =(AuuB)^_|_=A^_|_nnB^_|_ $ vera
3- $ (AnnB)^_|_=A^_|_+B^_|_ $ vera
4- $ V_5(R)=Ao+ B $ vera
Quella che mi lascia più dubbi è la seconda.
Che ne dite?
In $ V_5(R) $ sia $ A $ il sottospazio lineare generato dai seguenti vettori
$ A_1=(1,2,1,0,0) $
$ A_2=(1,0,-1,0,0) $
$ A_3=(1,1,0,0,0) $
$ A_4=(0,1,1,0,0) $
e $ B $ il sottospazio lineare soluzione del seguente sistema
$ { ( x_1+x_2=0 ),( x_2+x_3=0 ),( x_3+x_4=0 ),( x_4+x_5=0 ):} $
-) Parto dalla base per il sottospazio di A:
Mi chiede, in prima battuta se l'insieme $ (A_1,A_2,A_3,A_4) $ è indipendente, e in caso negativo di indicare quali vettori conserverei per avere una base di $ A $ .
L'insieme $ A $ è indipendente, e si può notare subito in quanto sicuro non ha $rank(A)=4$
In ogni caso riducendo la matrice, mi si conservano i vettori $A_3$ e $A_4$, i quali saranno quindi una base per $A$.
Da notare che, visto che mi chiedeva quali vettore conservare tra i dati, io ho ridotto la matrice che ho scritto considerando i vettori non in colonna, ma così come mi sono stati dati, ossia:
$ ( ( 1 , 2 , 1 , 0,0 ),( 1 , 0 , -1 , 0, 0 ),( 1 , 1 , 0 , 0, 0 ),( 0 , 1 , 1 , 0,0 ) ) $
-)Mi chiede poi di dire se sono vere o meno le seguenti affermazioni. Affianco le mie risposte
1- $ L(Auu B)=A+B $ vera
2- $ (A+B)^_|_ =(AuuB)^_|_=A^_|_nnB^_|_ $ vera
3- $ (AnnB)^_|_=A^_|_+B^_|_ $ vera
4- $ V_5(R)=Ao+ B $ vera
Quella che mi lascia più dubbi è la seconda.
Che ne dite?
Risposte
Adesso ho meno dubbi sulla seconda uguaglianza, anche se resta quella che mi convince di meno.
Qualcuno che ha dato un'occhiata?
Grazie!
Qualcuno che ha dato un'occhiata?
Grazie!
Ragazzi, oggi ho sostenuto il colloquio ed ho la correzione! La lascio visto che può essere utile ad altri!
Per la base del sottospazio $A$ è tutto ok.
Per quanto riguarda le affermazioni, la numero 4 è falsa, non vera.
Infatti $ V_5(R)=Ao+ B $ sse $ { ( V_5(R)=A+B ),( (AnnB)= { 0 } ):} $
In questo caso è falsa perchè non è soddisfatta la prima condizione, infatti risulta $ dim (A)+dim(B)!= 5 $
Per la base del sottospazio $A$ è tutto ok.
Per quanto riguarda le affermazioni, la numero 4 è falsa, non vera.
Infatti $ V_5(R)=Ao+ B $ sse $ { ( V_5(R)=A+B ),( (AnnB)= { 0 } ):} $
In questo caso è falsa perchè non è soddisfatta la prima condizione, infatti risulta $ dim (A)+dim(B)!= 5 $
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