Uguaglianza fra insiemi di vettori
Buonasera a tutti!
Ho un dubbio.
Quale ragionamento devo seguire per provare che due insiemi entrambi costituiti da combinazioni lineari di vettori, sono uguali? Per fissare le idee, quale traccia devo seguire per provare che $ = $?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Ho un dubbio.
Quale ragionamento devo seguire per provare che due insiemi entrambi costituiti da combinazioni lineari di vettori, sono uguali? Per fissare le idee, quale traccia devo seguire per provare che $
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Risposte
In generale non è immediato, a meno che lo spazio generato da quei vettori non sia qualcosa di noto...
Un metodo che funziona sempre (ma è lungo) è mostrare che $\forall i = 1, ..., n$ $v_i \in$ e $w_i \in $.
(Chiaramente, se i vettori generatori di entrambi gli spazi sono tra loro tutti linearmente indipendenti, ti basta verificare un'inclusione sola...)
Un metodo che funziona sempre (ma è lungo) è mostrare che $\forall i = 1, ..., n$ $v_i \in
(Chiaramente, se i vettori generatori di entrambi gli spazi sono tra loro tutti linearmente indipendenti, ti basta verificare un'inclusione sola...)
Un esempio: devo provare che $<(2;0;0;8), (2;0;0;9), (2;0;1;0)> = <(1;0;0;0), (0;0;1;0), (0;0;0;1)>$. Ovviamente in entrambi gli insiemi si hanno vettori linearmente indipendenti. Potresti spiegarmi passo passo il ragionamento da seguire? Ti ringrazio infinitamente.
Se non ti va di verificare che ogni vettore del primo sistema di generatori appartiene al secondo e viceversa, affidati alla buona "doppia inclusione.
Sia [tex]$x\in<(2;0;0;8), (2;0;0;9), (2;0;1;0)>$[/tex] cioè
[tex]$x=(2a+2b+2c, 0, c, 8a+8b)$[/tex]
Devi far vedere che un vettore siffatto puoè essere scritto come combinazione lineare di vettori del secondo sistema, cioè
[tex]$x=(2a+2b+2c, 0, c, 8a+8b)=(\alpha,0,\gamma,\delta)$[/tex]
cioè a sistema
[tex]$2a+2b+2c=\alpha$[/tex]
[tex]$c=\gamma$[/tex]
[tex]$8a+8b=\delta$[/tex]
e risolvere rispetto ad $alpha, beta, gamma$ per mostrare che appunto questi valori esistono. Poi il viceversa, con l'altro sistema di generatori.
Fammi sapere se non ti torna qualcosa.
Ciao!
Sia [tex]$x\in<(2;0;0;8), (2;0;0;9), (2;0;1;0)>$[/tex] cioè
[tex]$x=(2a+2b+2c, 0, c, 8a+8b)$[/tex]
Devi far vedere che un vettore siffatto puoè essere scritto come combinazione lineare di vettori del secondo sistema, cioè
[tex]$x=(2a+2b+2c, 0, c, 8a+8b)=(\alpha,0,\gamma,\delta)$[/tex]
cioè a sistema
[tex]$2a+2b+2c=\alpha$[/tex]
[tex]$c=\gamma$[/tex]
[tex]$8a+8b=\delta$[/tex]
e risolvere rispetto ad $alpha, beta, gamma$ per mostrare che appunto questi valori esistono. Poi il viceversa, con l'altro sistema di generatori.
Fammi sapere se non ti torna qualcosa.
Ciao!
Ho capito il principio. Restano però dei dubbi (!):
1. Perchè il sistema che hai ottenuto devo risolverlo rispetto ad $alpha, delta, gamma$?
2. Per quanto riguarda l'altro sistema di generatori devo risolvere il medesimo sistema rispetto ad $a, b, c$?
In particolare devo trovare le condizioni per cui entrambi i sistemi di cui sopra ammettono soluzioni?
Scusa per le troppe domande ma vorrei vederci chiaro!
1. Perchè il sistema che hai ottenuto devo risolverlo rispetto ad $alpha, delta, gamma$?
2. Per quanto riguarda l'altro sistema di generatori devo risolvere il medesimo sistema rispetto ad $a, b, c$?
In particolare devo trovare le condizioni per cui entrambi i sistemi di cui sopra ammettono soluzioni?
Scusa per le troppe domande ma vorrei vederci chiaro!
potersti anche trovare l'equazione dello spazio generato dai vettori e mostrare che, avendo la stessa equazione, sono uguali... che è quello che ha detto steven se non ho capito male!
Anche quello che dice mistake è ovviamente giusto e più rapido credo, io ho agito nel modo più elementare possibile, proprio mettendola sull'insiemistica.
Rispondo alle domande di Andrea.
1) Il ragionamento è questo: io prendo un vettore a caso del primo insieme, infatti al variare dei 3 parametri a,b,c li ottengo tutti.
Ora sto cercando il modo di rappresentare quel vettore come vettore del secondo insieme, e questo accade se e solo se esistono $alpha, beta, gamma$ in quella maniera.
Devi pensare che $a,b,c$ li stai fissando. Quindi, se per OGNI terna $a,b,c$ esistono $alpha, beta, gamma$ tali che (..), allora OGNI vettore preso nel primo insieme si rappresenta come elemento del secondo.
Devi trovare $alpha, beta, gamma$ perché quella terna ti assicura appunto l'appartenenza al secondo insieme: l'altra terna l'avevi già decisa a priori.
Scusa se sono stato prolisso, ma temevo di non rendere l'idea. Pensaci un attimo.
2)Esatto.
Vedi bene quindi che puoi anche non calcolare le forme esatte (cioè esplicitare rispetto ad $alpha$).
Infatti appare chiaro che si tratta solo di manipolare il sistema e giungere nella forma
$alpha=...$
$gamma=...$
$delta=...$
Rispondo alle domande di Andrea.
1) Il ragionamento è questo: io prendo un vettore a caso del primo insieme, infatti al variare dei 3 parametri a,b,c li ottengo tutti.
Ora sto cercando il modo di rappresentare quel vettore come vettore del secondo insieme, e questo accade se e solo se esistono $alpha, beta, gamma$ in quella maniera.
Devi pensare che $a,b,c$ li stai fissando. Quindi, se per OGNI terna $a,b,c$ esistono $alpha, beta, gamma$ tali che (..), allora OGNI vettore preso nel primo insieme si rappresenta come elemento del secondo.
Devi trovare $alpha, beta, gamma$ perché quella terna ti assicura appunto l'appartenenza al secondo insieme: l'altra terna l'avevi già decisa a priori.
Scusa se sono stato prolisso, ma temevo di non rendere l'idea. Pensaci un attimo.
2)Esatto.
Vedi bene quindi che puoi anche non calcolare le forme esatte (cioè esplicitare rispetto ad $alpha$).
Infatti appare chiaro che si tratta solo di manipolare il sistema e giungere nella forma
$alpha=...$
$gamma=...$
$delta=...$
Ok! Ma esattamente come faccio a determinare le equazioni dei due sottospazi vettoriali? Devo trovare l'equazione cartesiana?
"Steven":
Vedi bene quindi che puoi anche non calcolare le forme esatte (cioè esplicitare rispetto ad $alpha$).
Infatti appare chiaro che si tratta solo di manipolare il sistema e giungere nella forma
$alpha=...$
$gamma=...$
$delta=...$
Ti riferisci al primo sistema?
Nel caso del primo sistema, dato che devo risolvere rispetto ad $alpha, delta, gamma$, posso concludere subito che ammette soluzioni e le ricavo leggendo da destra verso sinistra le uguaglianze contenute in esso?
Nel caso del secondo sistema, dato che devo fare il viceversa, dovrò risolvere rispetto a $a, b, c$. In tal caso ricavo subito (ad esempio per sostituzione) i valori in funzione di $alpha, delta, gamma$ o devo fare una discussione preliminare?
Scusate le troppe domande!
Nel tuo caso non serve nemmeno fare troppi conti... puoi notare innanzitutto che $<(2;0;0;8), (2;0;0;9), (2;0;1;0)>$ e $<(1;0;0;0), (0;0;1;0), (0;0;0;1)>$ sono entrambi sottospazi vettoriali di dimensione 3, quindi ti basta mostrare un'inclusione affinchè segue l'uguaglianza... e l'inclusione $<(2;0;0;8), (2;0;0;9), (2;0;1;0)> \sube <(1;0;0;0), (0;0;1;0), (0;0;0;1)>$ è immediata, ti basta scrivere ogni vettore generatore del primo sottospazio come combinazione lineare di quelli del secondo e, senza sistemi vari, lo fai a occhio...
Per esempio dovrei scrivere: $(2;0;0;8)=2(1;0;0;0)+0(0;0;1;0)+8(0;0;0;1)$? Per poi procedere analogamente per gli altri due generatori del primo sottospazio?
Esattamente
Bene. Volendo potevo provare analogamente anche l'altra inclusione?
Si si certo, una volta dimostrata l'inclusione "facile" puoi dimostrare equivalentemente:
1) Che i due spazi vettoriali hanno entrambi dimensione 3 ovvero che i vettori sono linearmente indipendenti (che si fa molto velocemente con i determinanti)
2) Che vale anche l'altra inclusione in modo analogo, da cui ti seguirebbe che i due spazi sono uguali (però non sapresti ancora nulla della dimensione)
1) Che i due spazi vettoriali hanno entrambi dimensione 3 ovvero che i vettori sono linearmente indipendenti (che si fa molto velocemente con i determinanti)
2) Che vale anche l'altra inclusione in modo analogo, da cui ti seguirebbe che i due spazi sono uguali (però non sapresti ancora nulla della dimensione)
Ok! Ma la prova delle due inclusioni è sufficiente per dimostrare quanto richiesto?
Ti ringrazio per l'attenzione.
Ti ringrazio per l'attenzione.
Si... in generale, proprio dalla definizione hai che dati due insiemi $A, B$ allora $A = B \leftrightarrow A \sube B$ e $B \sube A$.
Ok. Ringrazio tutti per le delucidazioni!
Buona serata!
Andrea
Buona serata!
Andrea
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