U sottospazio vettoriale di W per quali valori?
Ciao, ho il seguente esercizio:
Sia $ainR$ e siano $U={(x,y,z) in R^3 t.c. \{(x + y - z = 0),(2x + y + 3z =0):}$ e $W=Span{(a,0,1), (1,0,a), (a-1, 0, 1-a)}$
$U$ è un sottospazio vettoriale di $W$ per quali valori di a?
Perché sia sottospazio vettoriale, deve essere chiudo rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare. Però non come impostare i calcoli per far risultare questo.
Sia $ainR$ e siano $U={(x,y,z) in R^3 t.c. \{(x + y - z = 0),(2x + y + 3z =0):}$ e $W=Span{(a,0,1), (1,0,a), (a-1, 0, 1-a)}$
$U$ è un sottospazio vettoriale di $W$ per quali valori di a?
Perché sia sottospazio vettoriale, deve essere chiudo rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare. Però non come impostare i calcoli per far risultare questo.
Risposte
Ciao! Penso che non dovresti concentrarti sulla chiusura di $U$ rispetto alla combinazione lineare (somma e prodotto per scalare), in quanto il parametro non compare proprio nel sistema che lo descrive... Se vuoi puoi verificare che è sottospazio di $RR^3$, se non lo è non lo sarà neanche per $W$, qualsiasi valore attribuisci ad $a$ ( e se fosse così l'esercizio sarebbe già finito!).
Devi vedere qualcos'altro!
(corregetemi se sbaglio!)
Devi vedere qualcos'altro!
(corregetemi se sbaglio!)
Non risco a capire lo stesso come fare. 
Che dimensione ha $U$? E qual è una sua base?
Considera che se $U$ è un sottospazio di $W$ sicuramente $W$ deve avere, al minimo, la stessa dimensione di $W$. Non solo, ma ti devi assicurare che tutti i vettori di $U$ siano contenuti in $W$.
Considera che se $U$ è un sottospazio di $W$ sicuramente $W$ deve avere, al minimo, la stessa dimensione di $W$. Non solo, ma ti devi assicurare che tutti i vettori di $U$ siano contenuti in $W$.
Una base di $U$ è $B=(x, -5/4x, -1/4x)$, però non so come far vedere che tutti i vettori du $U$ sono contenuti in $W$.
Se $U$ ha per base quel vettore che hai scritto (non ho fatto i calcoli) allora conterrà tutti i suoi multipli. Basta assicurarsi che quel vettore (e quindi tutti) appartenga a $W$. Per appartenere devi verificare che possa scriversi come combinazione lineare dei vettori di $W$
Avevo infatti provato a scrivere quel vettore come combinazione lineare dei vettori di $W$.
$B=(x, -5/4x, -1/4x)=alpha(a, 0, 1)+beta(1, 0, a)+gamma(a-1, 0, 1-a)$
Ma al posto di $x$ devo sostituire un valore oppure lo devo lasciare così? Perché lasciando $x$, non riesco ad arrivare a niente.
$B=(x, -5/4x, -1/4x)=alpha(a, 0, 1)+beta(1, 0, a)+gamma(a-1, 0, 1-a)$
Ma al posto di $x$ devo sostituire un valore oppure lo devo lasciare così? Perché lasciando $x$, non riesco ad arrivare a niente.
Se ti è più comodo considera $x=4$
Mettendo $x=4$, ho il sistema: $\{(alphaa+beta+gamma(a-1)=4),(alpha+betaa+gamma(1-a)=-1):}$ Ho provato a ricavare $a$ dalla prima $a=(4-beta+gamma)/(alpha+gamma)$ però poi, non so più come andare avanti.Sostituendo $a=(4-beta+gamma)/(alpha+gamma)$ trovo un'equazione del tipo $alpha^2-beta^2+2alphagamma+4beta+2betagamma-3gamma+alpha=0$
Prima di fare i calcoli guarda un po' come sono fatti i vettori di $W$. La seconda coordinata, la $y$ com'è? 
Sono tutti zeri, quindi la $y$ nel sistema non compare. Non riesco a capire dove questa informazione mi è utile.
E combinando $3$ vettori con tutti $0$ alla $y$ puoi mai ottenere il vettore di $U$ che invece ha $y ne 0$?
No. Però la soluzione dell'esercizio è: solo per due valori di $a$
Beh verifica allora i calcoli e se hai scritto la traccia correttamente. Altrimenti è sbagliata la soluzione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo