Tutte e sole le involuzioni di spazi vettoriali
Ragazzuoli, avevo una curiosità su cui mi stavo esercitando...
Data una matrice A, è definita in modo canonico l'applicazione $A: X\mapsto AX$.
La mia domandina: è possibile trovare tutte e sole le matrici che rappresentano le involuzioni su $\mathbb R^n$?
Per involuzione intendo un applicazione lineare tale che $A o A=I$...in termini matriciali ciò equivale a richiedere
$A^2=I$
Prima considerazione che ho fatto: sicuramente nell'insieme delle matrici "involutive" ci stanno dentro tutte le matrici ortogonali simmetriche: infatti, se A è simmetrica
$AA=I \Leftrightarrow AA^t=I\Leftrightarrow $ A ortogonale
D'altra parte Binet mi assicura che il determinante di A è $\pm 1$...
Potrei pensare che $Inv(M,n) = {\text{matrici ortogonali simmetriche}}$, ma così non è, infatti per esempio la seguente, pur non essendo simmetrica, è un involuzione
$((0,2),(1/2,0))$
PS. Con un conticino sono riuscito a pescarmi la generica matrice "involutiva" 2x2, ma ero curioso di sapere se il risultato fosse in qualche modo ""estendibile''...
Grazie mille in anticipo!
P.P.S. Mi sono fatto questa domanda perchè ero curioso di conoscere (geometricamente) quali erano tutte e sole le applicazioni lineari la cui inversa coincide con se stessa...
Data una matrice A, è definita in modo canonico l'applicazione $A: X\mapsto AX$.
La mia domandina: è possibile trovare tutte e sole le matrici che rappresentano le involuzioni su $\mathbb R^n$?
Per involuzione intendo un applicazione lineare tale che $A o A=I$...in termini matriciali ciò equivale a richiedere
$A^2=I$
Prima considerazione che ho fatto: sicuramente nell'insieme delle matrici "involutive" ci stanno dentro tutte le matrici ortogonali simmetriche: infatti, se A è simmetrica
$AA=I \Leftrightarrow AA^t=I\Leftrightarrow $ A ortogonale
D'altra parte Binet mi assicura che il determinante di A è $\pm 1$...
Potrei pensare che $Inv(M,n) = {\text{matrici ortogonali simmetriche}}$, ma così non è, infatti per esempio la seguente, pur non essendo simmetrica, è un involuzione
$((0,2),(1/2,0))$
PS. Con un conticino sono riuscito a pescarmi la generica matrice "involutiva" 2x2, ma ero curioso di sapere se il risultato fosse in qualche modo ""estendibile''...
Grazie mille in anticipo!
P.P.S. Mi sono fatto questa domanda perchè ero curioso di conoscere (geometricamente) quali erano tutte e sole le applicazioni lineari la cui inversa coincide con se stessa...
Risposte
Le matrici ortonormali simmetriche non sono necessariamente involuzioni. Non lo sono neanche tutte le matrici di permutazione. Infatti non tutte le permutazioni hanno ordine due. Tra l'altro non tutte le matrici di determinante $\pm 1$ sono ortonormali...
Dovrebbero esserlo, per la dimostrazione data sopra: infatti (la ripeto)
$ A A = I $ e A simmetrica implica $ A A^t = I$....ossia se A è involuzione ed è simmetrica, è anche ortogonale....questo risultato quindi sarebbe di validità generale...
Scrivo meglio
SIa A ortogonale e simmetrica. Allora A è un involuzione. Infatti A=A^t per simmetria, per cui AA=AA^t. Se A è ortogonale, si ha AA^t=I. Se ne conclude che AA=I, ovvero A è un involuzione.
Il viceversa non è vero, come mostra l'esempio sopra $((0,2),(1/2,0))$ questa matrice non è nè simmstrica nè ortogonale, eppure è un involuzione...
Mi piacerebbe allora, fissato n, trovare tutte le matrici che rappresentano un involuzione (intendevo un "sistema completo di invarianti", un sistema di condizioni necessarie e sufficienti per decidere se una matrice è un involuzione).
Intanto osservo che, se un involuzione è simmetrica è anche ortogonale (vedi sopra), per cui tutte le involuzioni simmetriche sono sicuramente in $O(1)$.
Mancherebbe da trovare le non simmetriche...
$ A A = I $ e A simmetrica implica $ A A^t = I$....ossia se A è involuzione ed è simmetrica, è anche ortogonale....questo risultato quindi sarebbe di validità generale...
Scrivo meglio
SIa A ortogonale e simmetrica. Allora A è un involuzione. Infatti A=A^t per simmetria, per cui AA=AA^t. Se A è ortogonale, si ha AA^t=I. Se ne conclude che AA=I, ovvero A è un involuzione.
Il viceversa non è vero, come mostra l'esempio sopra $((0,2),(1/2,0))$ questa matrice non è nè simmstrica nè ortogonale, eppure è un involuzione...
Mi piacerebbe allora, fissato n, trovare tutte le matrici che rappresentano un involuzione (intendevo un "sistema completo di invarianti", un sistema di condizioni necessarie e sufficienti per decidere se una matrice è un involuzione).
Intanto osservo che, se un involuzione è simmetrica è anche ortogonale (vedi sopra), per cui tutte le involuzioni simmetriche sono sicuramente in $O(1)$.
Mancherebbe da trovare le non simmetriche...
Ok, avevo considerato matrici ortogonali arbitrarie nel caso simmetrico si ha involuzioni. Comunque non confondere le matrici di determinante $\pm 1$ con le matrici ortogonali. Il gruppo \(\mathrm{ SL}_n(\mathbf{R})\) non è un sottogruppo del gruppo ortogonale speciale.
Detto questo se \(\displaystyle A \) è una involuzione e \(\displaystyle B \) una matrice invertibile si ha che \(\displaystyle BAB^{-1}BAB^{-1}= I \). Non so però se questo conclude ogni involuzione.
Detto questo se \(\displaystyle A \) è una involuzione e \(\displaystyle B \) una matrice invertibile si ha che \(\displaystyle BAB^{-1}BAB^{-1}= I \). Non so però se questo conclude ogni involuzione.
Cosa vuoi dire con questo? Che ogni matrice simile ad un involuzione è anch'essa un involuzione? Questo introduce una novità interessante...
Ma temo non sia risolutivo (ci garantisce solo che se A è un involuzione allora tutti gli elementi della classe di similitudine a cui appartiene A sono involuzioni).
Però può essere utile. Per esempio si dimostra che ogni involuzione A è diagonalizzabile (letto su wikipedia)...la dimostrazione sarebbe interessante da vedere, ma ora "non mi viene". Diamo per vero questo fatto.
Se tutte le matrici simili a una matrice involutiva sono involutiva, allora posso "classificare" le involuzioni in base ai suoi autovalori...credo che ci siamo molto vicini...
Ma temo non sia risolutivo (ci garantisce solo che se A è un involuzione allora tutti gli elementi della classe di similitudine a cui appartiene A sono involuzioni).
Però può essere utile. Per esempio si dimostra che ogni involuzione A è diagonalizzabile (letto su wikipedia)...la dimostrazione sarebbe interessante da vedere, ma ora "non mi viene". Diamo per vero questo fatto.
Se tutte le matrici simili a una matrice involutiva sono involutiva, allora posso "classificare" le involuzioni in base ai suoi autovalori...credo che ci siamo molto vicini...
Ragazzi non è per uppare, ma volevo informarvi che sono riuscito a trovare una soluzione completa all'"enigma"...ho deciso di scrivervelo, nel caso a qualcuno interessasse...
Le matrici "involutive" sono tutte e sole quelle diagonalizzabili con autovalori 1 e -1, ovvero tutte le matrici simili a quelle della forma
$((I_p ,0),(0 ,-I_{n-p}))$
DIMOSTRAZIONE
Qualunque matrice del tipo $A=((I_p, 0),(0, -I_{n-p}))$ è banalmente un involuzione (basta calcolare $A^2$), ed essendo tutte le matrici simili a un involuzione anch'esse involuzioni, possiamo concludere che ogni matrice simile ad A è un involuzione.
Viceversa, e qui viene il bello: ti dò una matrice, e mi chiedo se è un involuzione. Dimostrerò che A è diagonalizzabile con autovalori 1 e -1, e ciò proverà l'asserto.
Sia intanto $f$ l'applicazione di cui A è matrice associata.
Per ogni $X\in RR^n$ si ha $X=1/2 (X+f(X))+1/2 (X-f(X))$.
Si ha inoltre che $X+f(X)\in V(1)$: infatti $f(X+f(X))=f(X)+f^2(X)$ ovvero $f(X)+X$.
D'altra parte si ha $X-f(X)\in V(-1)$ con argomentazione analoga alla precedente.
Morale: ogni vettore di $RR^n$ lo scrivo in modo unico come somma tra un vettore che viene mandato in se stesso e somma di un vettore che viene mandato in meno se stesso. Questo significa $V= V(1)\oplus V(-1)$, e quindi prendendo una base di V(1) e accondandola con una di V(-1) ottengo una base di autovettori per $RR^n$: f è quindi diagonalizzabile e di autovalori 1 e -1. Essendo A matrice associata ad f rispetto alla base canonica, si ha che anche A è diagonalizzabile con autovalori 1 e -1. Quindi A è involuzione solo quando è simile a una matrice diagonale con autovalori $\pm 1 \square$.
Concludo il post con un osservazione sulla natura "geometrica" di questo risultato (che è stato quello che mi ha fatto interessare all'argomento): nel caso la matrice sia diagonale e del tipo descritto, si ha $A ((x_1),(x_2),(\vdots),(x_n)) = ((x_1),(\cdots),(x_p),(-x_(p+1)),(\cdots),(-x_n))$, ovvero A mi conserva alcune coordinate mentre altre coordinate le manda in "meno se stesse"...eventualmente un involuzione può anche accorciarmi o allungarmi determinati vettori, ma esiste comunque una base i cui vettori $f$ tratta nello stesso identico modo (alcune componenti le manda in meno se stesse, altre le lascia invariate).
Le matrici "involutive" sono tutte e sole quelle diagonalizzabili con autovalori 1 e -1, ovvero tutte le matrici simili a quelle della forma
$((I_p ,0),(0 ,-I_{n-p}))$
DIMOSTRAZIONE
Qualunque matrice del tipo $A=((I_p, 0),(0, -I_{n-p}))$ è banalmente un involuzione (basta calcolare $A^2$), ed essendo tutte le matrici simili a un involuzione anch'esse involuzioni, possiamo concludere che ogni matrice simile ad A è un involuzione.
Viceversa, e qui viene il bello: ti dò una matrice, e mi chiedo se è un involuzione. Dimostrerò che A è diagonalizzabile con autovalori 1 e -1, e ciò proverà l'asserto.
Sia intanto $f$ l'applicazione di cui A è matrice associata.
Per ogni $X\in RR^n$ si ha $X=1/2 (X+f(X))+1/2 (X-f(X))$.
Si ha inoltre che $X+f(X)\in V(1)$: infatti $f(X+f(X))=f(X)+f^2(X)$ ovvero $f(X)+X$.
D'altra parte si ha $X-f(X)\in V(-1)$ con argomentazione analoga alla precedente.
Morale: ogni vettore di $RR^n$ lo scrivo in modo unico come somma tra un vettore che viene mandato in se stesso e somma di un vettore che viene mandato in meno se stesso. Questo significa $V= V(1)\oplus V(-1)$, e quindi prendendo una base di V(1) e accondandola con una di V(-1) ottengo una base di autovettori per $RR^n$: f è quindi diagonalizzabile e di autovalori 1 e -1. Essendo A matrice associata ad f rispetto alla base canonica, si ha che anche A è diagonalizzabile con autovalori 1 e -1. Quindi A è involuzione solo quando è simile a una matrice diagonale con autovalori $\pm 1 \square$.
Concludo il post con un osservazione sulla natura "geometrica" di questo risultato (che è stato quello che mi ha fatto interessare all'argomento): nel caso la matrice sia diagonale e del tipo descritto, si ha $A ((x_1),(x_2),(\vdots),(x_n)) = ((x_1),(\cdots),(x_p),(-x_(p+1)),(\cdots),(-x_n))$, ovvero A mi conserva alcune coordinate mentre altre coordinate le manda in "meno se stesse"...eventualmente un involuzione può anche accorciarmi o allungarmi determinati vettori, ma esiste comunque una base i cui vettori $f$ tratta nello stesso identico modo (alcune componenti le manda in meno se stesse, altre le lascia invariate).
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