Trovare vettore non nullo tale che q(X) = 0?
Salve,
Ho un problema. Sto disperando da qualche giorno. Qualcuno riesce a spiegarmi il procedimento (anche facendomi vedere i passaggi?) per trovare un vettore non nullo tale che q(X) = 0?
Poiché il segno della quadratica è indefinita, posso affermare che esiste (così come nel caso della semi-definita, giusto?).
Allego un'immagine.
Grazie mille.
Ho un problema. Sto disperando da qualche giorno. Qualcuno riesce a spiegarmi il procedimento (anche facendomi vedere i passaggi?) per trovare un vettore non nullo tale che q(X) = 0?
Poiché il segno della quadratica è indefinita, posso affermare che esiste (così come nel caso della semi-definita, giusto?).
Allego un'immagine.
Grazie mille.
Risposte
"arnett":
Hai provato a scrivere esplicitamente $q(x, y, z)=...$? Poi si vede a occhio/per tentativi.
Si, ho provato. Ma non capisco ugualmente, magari sbaglio qualcosa.
"Tower01":
Poiché il segno della quadratica è indefinita, posso affermare che esiste (così come nel caso della semi-definita, giusto?).
Esatto. Dei vettori isotropi stanno sulla retta $t(0,1,1)$
Se posti i conti (usando l'editor del forum) vediamo dove ti blocchi
"Bokonon":
[quote="Tower01"]
Poiché il segno della quadratica è indefinita, posso affermare che esiste (così come nel caso della semi-definita, giusto?).
Esatto. Tutti i vettori isotropi stanno sulla retta $t(0,1,1)$
Se posti i conti (usando l'editor del forum) vediamo dove ti blocchi[/quote]
Perdonate la mia poca dimestichezza con LaTex.
$q(x', y', z') =$ [tex]\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & -1 \\
0 & \sqrt[]{2} & 0
\end{bmatrix}X[/tex]
il risultato che ottengo (mettendo a sistema):
\begin{equation}
\begin{cases}
x^2+ zx = 0\\xy - zy=0 \\ \sqrt[]{2}yz = 0
\end{cases}
\end{equation}
Per questo poi non capisco come procedere
Non ho capito da dove esce il sistema.
Facciamo un passo indietro e vediamo la logica.
Abbiamo diagonalizzato A, ovvero abbiamo trovato una base ortonormale tale che $A=QLambdaQ^(-1)=QLambdaQ^(T)$
La quadrica è $Q(X)=X^TAX$
Sostituendo abbiamo $Q(X)=X^TQLambdaQ^(T)X=(Q^TX)^TLambda(Q^(T)X)=X'^TLambdaX'$
Dove $X'=Q^TX$ per cui $X=QX'$
Quindi $N=Q$
Ora se cerchiamo rapidamente un vettore tale che $Q(X)=X^TAX=0$ è naturale concentrarsi su una soluzione di $X=NX'=<0,0,0>$
Guarda la matrice N e chiediti quale combinazione lineare delle colonne mi da il vettore nullo?
E' evidente che sommando la prima e la terza colonna ottengo il vettore nullo, quindi la combinazione (1,0,1) soddisfa la richiesta $X=N<1,0,1> = <0,0,0>$ e ci annulla la Q(x).
Tutti i vettori $LambdaX'=0$ sono isotropi, ovvero $3x'^2-y'^2-z'^2=0$ ovvero tutti i vettori che stanno sulla superficie di un cono centrato nell'origine e che esce lungo l'asse X.
Puoi anche provarlo per Q(x). Prendi il vettore $X=N( ( +-sqrt((y^2+z^2)/3) ),( y ),( z ) ) $
e vedrai che soddisfa $Q(X)=X^TAX$
Facciamo un passo indietro e vediamo la logica.
Abbiamo diagonalizzato A, ovvero abbiamo trovato una base ortonormale tale che $A=QLambdaQ^(-1)=QLambdaQ^(T)$
La quadrica è $Q(X)=X^TAX$
Sostituendo abbiamo $Q(X)=X^TQLambdaQ^(T)X=(Q^TX)^TLambda(Q^(T)X)=X'^TLambdaX'$
Dove $X'=Q^TX$ per cui $X=QX'$
Quindi $N=Q$
Ora se cerchiamo rapidamente un vettore tale che $Q(X)=X^TAX=0$ è naturale concentrarsi su una soluzione di $X=NX'=<0,0,0>$
Guarda la matrice N e chiediti quale combinazione lineare delle colonne mi da il vettore nullo?
E' evidente che sommando la prima e la terza colonna ottengo il vettore nullo, quindi la combinazione (1,0,1) soddisfa la richiesta $X=N<1,0,1> = <0,0,0>$ e ci annulla la Q(x).
Tutti i vettori $LambdaX'=0$ sono isotropi, ovvero $3x'^2-y'^2-z'^2=0$ ovvero tutti i vettori che stanno sulla superficie di un cono centrato nell'origine e che esce lungo l'asse X.
Puoi anche provarlo per Q(x). Prendi il vettore $X=N( ( +-sqrt((y^2+z^2)/3) ),( y ),( z ) ) $
e vedrai che soddisfa $Q(X)=X^TAX$
"Bokonon":
Non ho capito da dove esce il sistema.
Facciamo un passo indietro e vediamo la logica.
Abbiamo diagonalizzato A, ovvero abbiamo trovato una base ortonormale tale che $A=QLambdaQ^(-1)=QLambdaQ^(T)$
La quadrica è $Q(X)=X^TAX$
Sostituendo abbiamo $Q(X)=X^TQLambdaQ^(T)X=(Q^TX)^TLambda(Q^(T)X)=X'^TLambdaX'$
Dove $X'=Q^TX$ per cui $X=QX'$
Quindi $N=Q$
Ok, fino a qui mi è chiaro.
Ora se cerchiamo rapidamente un vettore tale che $Q(X)=X^TAX=0$ è naturale concentrarsi su una soluzione di $X=NX'=<0,0,0>$
Guarda la matrice N e chiediti quale combinazione lineare delle colonne mi da il vettore nullo?
E' evidente che sommando la prima e la terza colonna ottengo il vettore nullo, quindi la combinazione (1,0,1) soddisfa la richiesta $X=N<1,0,1> = <0,0,0>$ e ci annulla la Q(x).
Qui non capisco come fa a venire il vettore nullo sommando la prima e la terza colonna della matrice N come combinazione lineare di (1, 0 ,1).
"arnett":
[quote="Tower01"][quote="arnett"]Hai provato a scrivere esplicitamente $q(x, y, z)=...$? Poi si vede a occhio/per tentativi.
Si, ho provato. Ma non capisco ugualmente, magari sbaglio qualcosa.[/quote]
Bokonon ormai ha risolto, ma per capire se hai capito, riporteresti qui quello che ti ho chiesto? Ti deve venire un'equazione scalare, non un sistema.[/quote]
Dovrebbe essere:
$x^2 + zx + xy - zy + \sqrt[2]yz = 0$
"arnett":
No, $q(x, y, z)=x^2+y^2-z^2+4xy$.
aaah ho capito... ma non c'è bisogno neanche di calcoli, si vede ad occhio dalla matrice A.
Io facevo tutt'altro, avevo frainteso ciò che mi chiedevi.
Di conseguenza andando a sostituire il vettore $(1, 0, 1)$ si annulla Q(X).
Quindi considerando la seguente matrice:
A= [tex]\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}[/tex]
la forma esplicita è $q(x, y, z) = x^2 + y^2 + 2z^2 + 2xy$
il vettore che soddisfa Q(X) = 0 è $(1, -1, 0)$
Quindi considerando la seguente matrice:
A= [tex]\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}[/tex]
la forma esplicita è $q(x, y, z) = x^2 + y^2 + 2z^2 + 2xy$
il vettore che soddisfa Q(X) = 0 è $(1, -1, 0)$
Grazie mille a tutti!
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