Trovare vettore incognito secondo delle basi
Salve a tutti. Ho una funzione $ f:R^2\rightarrow R^3 $ ed ho due basi di $R^2$ date $(2,1)$ e $(1,1)$. Poi mi da 3 basi di $R^3$ che sono $(1,1,0)$, $(0,1,1)$ e $(2,1,1)$. Mi da anche la legge della funzione:$f(x,y)=(2x-3y,x+y,-2y)$. Vorrei capire come trovare il vettore $(a,b,c)$ secondo queste basi. Il risultato è $(1,3,-2)$.
Purtroppo non riesco a trovare questo vettore. So però che questa combinazione lineare mi aiuta a trovare i coefficienti a, b e c per determinare il vettore: $x(1,1,0) + y(0,1,1) +z(2,1,1)=(a,b,c)$ dalla quale è scaturito questo:$(b-c,(c+b-a)/2,(c-b+a)/2)$. Ma proprio quello che non ho capito è come fare a trovare il vettore $(1,3,-2)$? L'esercizio richiede pure di trovare la matrice abbinata che sarebbe: \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 0 & -1/2 \\- 2 & -5/2 \end{pmatrix}
Grazie a chi mi aiuterà.
Purtroppo non riesco a trovare questo vettore. So però che questa combinazione lineare mi aiuta a trovare i coefficienti a, b e c per determinare il vettore: $x(1,1,0) + y(0,1,1) +z(2,1,1)=(a,b,c)$ dalla quale è scaturito questo:$(b-c,(c+b-a)/2,(c-b+a)/2)$. Ma proprio quello che non ho capito è come fare a trovare il vettore $(1,3,-2)$? L'esercizio richiede pure di trovare la matrice abbinata che sarebbe: \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 0 & -1/2 \\- 2 & -5/2 \end{pmatrix}
Grazie a chi mi aiuterà.
Risposte
ciao. il vettore $ (a,b,c) $ non ti è dato? perchè il metodo che tu hai seguito è quello che avrei seguito anche io ma non porta a nulla in questo esercizio perchè otteniamo un sistema di tre equazioni a 6 incognite (a,b,c,x,y,z). può essere che il testo dell'esercizio fosse: "determinare le coordinate del vettore (1,3,-2) rispetto alle basi"?. se così non fosse mi spiace ma non so aiutarti.
per quanto riguarda la seconda parte. per scrivere la matrice rappresentativa della tua applicazione lineare devi prima trovare le immagini dei vettori nella base di $RR^2$ e poi le immagini le esprimi come combinazione lineare dei vettori della base di $RR^3$. la matrice che io ottengo però è diversa dal risultato che hai postato. mi viene: $ ( ( 5 , 4 ),( 0 , 1/2 ),( -2 , -5/2 ) ) $ .
per quanto riguarda la seconda parte. per scrivere la matrice rappresentativa della tua applicazione lineare devi prima trovare le immagini dei vettori nella base di $RR^2$ e poi le immagini le esprimi come combinazione lineare dei vettori della base di $RR^3$. la matrice che io ottengo però è diversa dal risultato che hai postato. mi viene: $ ( ( 5 , 4 ),( 0 , 1/2 ),( -2 , -5/2 ) ) $ .
Ti ringrazio per la risposta. No il vettore (1,3,-2) non mi è stato dato. Ecco il testo esatto che forse aiuta a capire meglio: consideriamo la funzione \( f: R^2\rightarrow R^3 \) definita come $f(x,y)=(2x-3y,x+y,-2y)$. 1) Verifica la linearità 2)La Scrivi la matrice associata ad f secondo le basi canoniche 3) Scrivi la matrice associata ad f usando come basi l1(2,1) l2(1,1) di partenza e e1(1,1,0) e2(0,1,1) e3(2,1,1) come basi di arrivo. Il risultato è corretto il tuo perché il meno mi è scappato. Ora edito. Ancora non riesco a capire da dove viene fuori (1,3,-2)... Mi aiuteresti lo stesso a capire tutta quanta la situazione? Mi saresti comunque di grande aiuto. Ad esempio $f(x,y)$ sarebbe una funzione che accetta 2 valori come infatti sono le basi $l1(2,1)$ e $l2(1,1)$. Aspetta forse ci sono 
forse ho capito (ci ho appena ragionato per caso, proprio mentre scrivevo): f(2,1)=(2*2-3*1,2+1,-2*1)=(1,3,-2). Secondo te può essere? Comunque continuo con la mia analisi: (1,3,-2) è un semplice vettore vero? Non una base o un generatore. Invece l1 e l2 sarebbero le basi che generano $R^2$ nel senso che questi vettori sono un piano detto informalmente vero? Mentre e1, e2 e e3 sono le basi che generano $R^3$ giusto? Cioè il titolo di base sta a significare che genera un qualcosa giusto? Però sono linearmente indipendenti mentre i generatori possono essere linearmente dipendenti.
forse ho capito (ci ho appena ragionato per caso, proprio mentre scrivevo): f(2,1)=(2*2-3*1,2+1,-2*1)=(1,3,-2). Secondo te può essere? Comunque continuo con la mia analisi: (1,3,-2) è un semplice vettore vero? Non una base o un generatore. Invece l1 e l2 sarebbero le basi che generano $R^2$ nel senso che questi vettori sono un piano detto informalmente vero? Mentre e1, e2 e e3 sono le basi che generano $R^3$ giusto? Cioè il titolo di base sta a significare che genera un qualcosa giusto? Però sono linearmente indipendenti mentre i generatori possono essere linearmente dipendenti.
il punto 1 2 li lascio fare te dato che non hai chiesto chiarimenti in merito. per quanto riguarda il punto 3: devi anche cambiare il segno di $1/2$ nella tua matrice rappresentativa. al di là di questi segni, dato che sei riuscito a trovarla ne deduco che tu sappia come fare.
nel testo che hai postato però non si fa nessun accenno alle coordinate del vettore. perchè ti interessa saperle?
il vettore $(1,3,-2)$ è si l'immagine del vettore $(2,1)$ (trovata come hai fatto tu- procedimento che serve anche per trovare la matrice rappresentativa del punto 3). non vedo però perchè dovrebbe essere la risposta al tuo quesito. perchè per esempio non prendi il vettore $(1,1)$? così facendo ciò che trovi non è $(1,3,-2)$.
la funzione f è una funzione che riceve in input un vettore di due elementi e ne restituisce uno da tre. passiamo ora alle basi (non sto qui a darti una rigorosissima definizione con tutte le ipotesi ma ti voglio passare il concetto).
definizione: si definisce base un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio.
(UTILE SAPERE CHE.... Se la base di uno spazio vettoriale è composta da un numero finito di elementi allora la dimensione dello spazio è finita.[3] In particolare, il numero di elementi della base coincide con la dimensione dello spazio.)
cosa significa la definizione?
prendiamo un insieme di vettori che generano lo spazio. in generale (come hai giustamente detto) questi vettori possono essere linearmente dipendenti o indipendenti. se però abbiamo che questi sono linearmente indipendenti allora sono una base.
base= vettori che generano e che sono linearmente indipendenti.
nel testo che hai postato però non si fa nessun accenno alle coordinate del vettore. perchè ti interessa saperle?
il vettore $(1,3,-2)$ è si l'immagine del vettore $(2,1)$ (trovata come hai fatto tu- procedimento che serve anche per trovare la matrice rappresentativa del punto 3). non vedo però perchè dovrebbe essere la risposta al tuo quesito. perchè per esempio non prendi il vettore $(1,1)$? così facendo ciò che trovi non è $(1,3,-2)$.
la funzione f è una funzione che riceve in input un vettore di due elementi e ne restituisce uno da tre. passiamo ora alle basi (non sto qui a darti una rigorosissima definizione con tutte le ipotesi ma ti voglio passare il concetto).
definizione: si definisce base un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio.
(UTILE SAPERE CHE.... Se la base di uno spazio vettoriale è composta da un numero finito di elementi allora la dimensione dello spazio è finita.[3] In particolare, il numero di elementi della base coincide con la dimensione dello spazio.)
cosa significa la definizione?
prendiamo un insieme di vettori che generano lo spazio. in generale (come hai giustamente detto) questi vettori possono essere linearmente dipendenti o indipendenti. se però abbiamo che questi sono linearmente indipendenti allora sono una base.
"gioxylist":
Cioè il titolo di base sta a significare che genera un qualcosa giusto? Però sono linearmente indipendenti mentre i generatori possono essere linearmente dipendenti.
base= vettori che generano e che sono linearmente indipendenti.
Ti ringrazio della risposta. Quindi le basi generano lo spazio ma un vettore generatore non è detto che generi lo spazio (ad esempio $(2,1)$ è un generatore se ho capito bene)? Si le altre cose le so fare. Mi interessava sapere proprio come calcolare $(1,3,-2)$ perché me lo dava come soluzione e non avevo capito come farlo ma mentre scrivevo mi è venuto questa possibile via ovvero fare l'immagine tramite la base (2,1). Si è vero il vettore ottenuto dalla base $(1,1)$ è diverso. In pratica questo esercizio mi dava due basi iniziali e 3 finali. Non capivo come fare per trovare quel vettore composto da $(a,b,c)$ perché ho trovato solo le loro espressioni e non il valore preciso di a, b e c. Si diciamo che su le altre cose ci sono come dici tu.
$(2,1)$ è uno dei vettori che generano $RR^2$. tieni presente che dato uno spazi vettoriale non nullo esistono infiniti sistemi di generatori.
scusa ma non ho ancora capito cosa ti chiedeva del vettore.
cosa diceva esattamente il testo? se non avessi avuto la soluzione come avresti fatto ad "indovinare" che il vettore che ti chiedeva era appunto $(1,3,-2)$? 
perchè non prendere l'immagine di (1,1)?
scusa ma non ho ancora capito cosa ti chiedeva del vettore.
cosa diceva esattamente il testo? se non avessi avuto la soluzione come avresti fatto ad "indovinare" che il vettore che ti chiedeva era appunto $(1,3,-2)$? perchè non prendere l'immagine di (1,1)?
Lo scritto nella risposta precedete ma lo ricopio:"consideriamo la funzione f:R2→R3 definita come f(x,y)=(2x−3y,x+y,−2y). 1) Verifica la linearità 2)Scrivi la matrice associata ad f secondo le basi canoniche 3) Scrivi la matrice associata ad f usando come basi l1(2,1) l2(1,1) di partenza e e1(1,1,0) e2(0,1,1) e3(2,1,1) come basi di arrivo" Questo è il testo. Il vettore $(1,3,-2)$ è per forza dettato da l1(2,1) altrimenti non c'è modo di saperlo.
ma ti serve calcolarlo per arrivare a scrivere la matrice associata? perchè altrimenti non vedo nessun altra ragione per calcolarlo. infatti:
1) verifica la linearità. qui non si chiede di calcolare alcun vettore.
2) matrice associata rispetto alla base canonica. anche qui non chiede di calcolare alcun vettore.
3) matrice associata rispetto alla basi date. anche qui non si fa accenno ad alcun vettore.
inoltre:
il vettore che abbiamo scritto non è calcolato rispetto a nessuna base, è solo l'immagine di un vettore.
scusami se chiedo ancora (è l'ultima volta prometto
), ma non ne capisco la motivazione.
1) verifica la linearità. qui non si chiede di calcolare alcun vettore.
2) matrice associata rispetto alla base canonica. anche qui non chiede di calcolare alcun vettore.
3) matrice associata rispetto alla basi date. anche qui non si fa accenno ad alcun vettore.
inoltre:
"gioxylist":
Vorrei capire come trovare il vettore $ (a,b,c) $ secondo queste basi. Il risultato è $ (1,3,-2) $.
il vettore che abbiamo scritto non è calcolato rispetto a nessuna base, è solo l'immagine di un vettore.
scusami se chiedo ancora (è l'ultima volta prometto
), ma non ne capisco la motivazione.
No ma che figurati 
praticamente ti spiego l'arcano: c'è questo esercizio che l'ho notato su una slide e mi sono messo a farlo. Arrivo ad un punto che vedo proprio nella spiegazione che compare questo vettore e quindi non sapendo come calcolarlo provo vari ragionamenti. Poi ho visto che calcola la matrice della seconda richiesta con il vettore $(1,3,-2)$ e $(-1,2,-2)$ che sarebbe l'immagine del vettore secondo la base $l2(1,1)$.Quindi penso che alla fine sia richiesto il calcolo di questo vettore altrimenti nei risultati non compariva la matrice con quei valori esatti e non compariva quel vettore. Tu che dici? Mi sto concentrando su un qualcosa di sbagliato? oltre tutto ciò: per la matrice ho usato l'espressione trovata: $(b-c,(c+b-a)/2,(c-b+a)/2)$ per trovare quei valori (Anche se ho sbagliato mi interessa capire se ho capito). Il risultato di quest'ultima espressione mi da la nuova matrice utilizzando sempre nuove basi vero?
praticamente ti spiego l'arcano: c'è questo esercizio che l'ho notato su una slide e mi sono messo a farlo. Arrivo ad un punto che vedo proprio nella spiegazione che compare questo vettore e quindi non sapendo come calcolarlo provo vari ragionamenti. Poi ho visto che calcola la matrice della seconda richiesta con il vettore $(1,3,-2)$ e $(-1,2,-2)$ che sarebbe l'immagine del vettore secondo la base $l2(1,1)$.Quindi penso che alla fine sia richiesto il calcolo di questo vettore altrimenti nei risultati non compariva la matrice con quei valori esatti e non compariva quel vettore. Tu che dici? Mi sto concentrando su un qualcosa di sbagliato? oltre tutto ciò: per la matrice ho usato l'espressione trovata: $(b-c,(c+b-a)/2,(c-b+a)/2)$ per trovare quei valori (Anche se ho sbagliato mi interessa capire se ho capito). Il risultato di quest'ultima espressione mi da la nuova matrice utilizzando sempre nuove basi vero?
Ah ecco!! finalmente ho capito!! 
questo però mi fa sorgere il dubbio che tu non sappia calcolare la matrice rappresentativa. infatti dati due spazi vettoriali V,Z con rispettive basi B e C e data infine $ f:V->Z $ per determinare la matrice rappresentativa devi:
1. scrivere l'immagine dei vettori della base B
2. esprimere le immagini appena trovate come combinazione lineare dei vettori della base C.
non è rispetto alla base, l'immagine non si calcola rispetto ad una base. è la funzione che dice come è fatto il vettore immagine. se per esempio la funzione era fatta così: $ f(x,y)=(3x,2y,3x+2) $ allora l'immagine di $(2,1)$ è: $(6,2,8)$.
quello che hai calcolato è l'immagine di un vettore della base.
il calcolo del vettore comunque è solo un passaggio non necessario esprimerlo esplicitamente.
l'espressione che hai trovato ti fornisce le coordinate di un qualunque vettore (di coordinate a,b,c assegnate) rispetto alle basi fornite nel testo.
non può fornire la matrice rappresentativa rispetto a qualunque base perchè quell'espressione cambierebbe poichè il sistema che risolveresti sarebbe diverso. infatti per trovare quell'espressione hai messo a sistema le basi e1, e2, e3. se questa cambia il sistema cambia e con esso in generale anche la soluzione.
questo però mi fa sorgere il dubbio che tu non sappia calcolare la matrice rappresentativa. infatti dati due spazi vettoriali V,Z con rispettive basi B e C e data infine $ f:V->Z $ per determinare la matrice rappresentativa devi:1. scrivere l'immagine dei vettori della base B
2. esprimere le immagini appena trovate come combinazione lineare dei vettori della base C.
"gioxylist":
calcola la matrice della seconda richiesta con il vettore $ (1,3,-2) $ e $ (-1,2,-2) $ che sarebbe l'immagine del vettore secondo la base $ l2(1,1) $.
non è rispetto alla base, l'immagine non si calcola rispetto ad una base. è la funzione che dice come è fatto il vettore immagine. se per esempio la funzione era fatta così: $ f(x,y)=(3x,2y,3x+2) $ allora l'immagine di $(2,1)$ è: $(6,2,8)$.
quello che hai calcolato è l'immagine di un vettore della base.
il calcolo del vettore comunque è solo un passaggio non necessario esprimerlo esplicitamente.
l'espressione che hai trovato ti fornisce le coordinate di un qualunque vettore (di coordinate a,b,c assegnate) rispetto alle basi fornite nel testo.
non può fornire la matrice rappresentativa rispetto a qualunque base perchè quell'espressione cambierebbe poichè il sistema che risolveresti sarebbe diverso. infatti per trovare quell'espressione hai messo a sistema le basi e1, e2, e3. se questa cambia il sistema cambia e con esso in generale anche la soluzione.
Si si certo. Ho detto così perché mi è stato detto che quando non vengono assegnate cose particolari allora devo sempre tener conto della base. Ora penso di esserci, sento che prossimamente pubblicherò un'altra domanda. Alla prossima e grazie di tutto.
figurati! 
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