Trovare una retta r perpendicolare ad s e passante per il punto P

[Serus]

Salve a tutti, ho la retta
$s: {(x=1-t),(y=2),(z=t):}$
e il punto $P(1,1,0)$
devo trovare una retta r perpendicolare ad s e passante per il punto P.

Come svolgo questo esercizio?
Ho cercato online ma non trovo nulla di chiaro :/

so che due rette nello spazio sono perpendicolari se e solo se sono tali le loro direzioni, ovvero se il prodotto scalare tra i vettori direttori delle rette è uguale a zero.
Da questa definizione però non so come muovermi..


EDIT: Ho provato a svolgerlo sfruttando la definizione esposta sopra:
il vettore direzione di s è (-1,0,1), quindi per trovare una retta ortogonale ad s non dovevo far altro che trovare dei numeri tali che (-1)l+(0)m+(1)n = 0 .... il vettore (1,0,1) dovrebbe andare bene...
da questo vettore ricavo la retta
$r: {(x=1+t),(y=1),(z=t):}$
ma visualizzando la retta su Geogebra, noto che tale retta è parallela e "inversa" ad s, non incidente (pur passando dal punto 1,1,0) ...strada sbagliata?

[feddy]

ciao,

l'osservazione che hai fatto sulla direzione è corretta: i due vettori direttori devono essere perpendicolari, e dunque il prodotto scalare canonico deve essere nullo.

Visto che è chiesta una retta, ci basta un punto e una direzione. Il punto $P$ ci viene fornito.

$v_s = ((-1),(0),(1))$
Indicato ora con $$ il prodotto scalare:
deve essere che $ = 0 $, ossia $<((-1),(0),(1))*((a),(b),(c))> = 0$

Otteniamo $-a + c =0$ ossia $a=c$, per cui tutti i vettori con $a=c$ sono perpendicolari a $v_s$.

Uno banale potrebbe essere $((1),(1),(1))$.

La retta r: $P+lambdavecv_r$

In forma parametrica: $ { ( x=1 +lambda),( y=1+lambda ),( z=0+lambda ):} $

[Serus]

"feddy":ciao,

l'osservazione che hai fatto sulla direzione è corretta: i due vettori direttori devono essere perpendicolari, e dunque il prodotto scalare canonico deve essere nullo.

Visto che è chiesta una retta, ci basta un punto e una direzione. Il punto $P$ ci viene fornito.

$v_s = ((-1),(0),(1))$
Indicato ora con $$ il prodotto scalare:
deve essere che $ = 0 $, ossia $<((-1),(0),(1))*((a),(b),(c))> = 0$

Otteniamo $-a + c =0$ ossia $a=c$, per cui tutti i vettori con $a=c$ sono perpendicolari a $v_s$.

Uno banale potrebbe essere $((1),(1),(1))$.

La retta r: $P+lambdavecv_r$

In forma parametrica: $ { ( x=1 +lambda),( y=1+lambda ),( z=0+lambda ):} $

ho editato il messaggio iniziale mentre stavi rispondendo
il procedimento che ho seguito è molto simile al tuo...come mai nella rappresentazione grafica la mia retta non è valida?
nel grafico dovrebbero comparire due rette che si incrociano formando 4 angoli di 90° no?

[feddy]

Certo devono essere perpendicolari

[Serus]

"feddy":Certo devono essere perpendicolari

ah ok, adesso ho capito...
il mio dubbio era basato sul fatto che le rette non sono incidenti ma, andando a rivedere bene la definizione, due rette sono perpendicolari anche se appartengono a piani distinti tra loro ortogonali (come in questo caso)


grazie mille per l'aiuto!

[feddy]

figurati