Trovare una matrice 2x2 nulla.
Ho un dubbio su come trovare due matrici 2x2 che diano per prodotto matrice nulla, ma che sia data da prodotto di due matrici con nessun elemento nullo.
La mia idea era moltiplicare due matrici di elementi $a,b,c,d$ e $f,g,h,i$ porre il prodotto uguale alla matrice nulla e risolvere.
Ma ottengo un sistema:
$ae+bg=0$
$af+bh=0$
$ce+dg=0$
$cf+dh=0$
e per quanto mi ostini a risolverlo non trovo solutioni utili dato che i parametri mi si intrecciano tra loro non so come svolgerlo
La domanda che vorrei porre è quindi, come posso risolvere quel sistema?
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
PS: in realtà poi ho trovato la soluzione limitando i parametri, ma mi piacerebbe diciamo capire come risolvere quel dannato sistema
La mia idea era moltiplicare due matrici di elementi $a,b,c,d$ e $f,g,h,i$ porre il prodotto uguale alla matrice nulla e risolvere.
Ma ottengo un sistema:
$ae+bg=0$
$af+bh=0$
$ce+dg=0$
$cf+dh=0$
e per quanto mi ostini a risolverlo non trovo solutioni utili dato che i parametri mi si intrecciano tra loro non so come svolgerlo
La domanda che vorrei porre è quindi, come posso risolvere quel sistema?
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
PS: in realtà poi ho trovato la soluzione limitando i parametri, ma mi piacerebbe diciamo capire come risolvere quel dannato sistema
Risposte
Bellissimo esercizio!
Sia \(\displaystyle A\in\mathbb{K}^2_2\) tale che \(\displaystyle A^2=\underline{0}^2_2\), allora \(\displaystyle\det(A)=0\) ovvero \(\displaystyle rank(A)\leq1\) ovvero
\[
A=\begin{pmatrix}
a & b\\
\lambda a & \lambda b
\end{pmatrix}
\]
ove \(\displaystyle a,b,\lambda\in\mathbb{K}\). Imponi le condizioni che vuoi e risolvi l'esercizio!
Sia \(\displaystyle A\in\mathbb{K}^2_2\) tale che \(\displaystyle A^2=\underline{0}^2_2\), allora \(\displaystyle\det(A)=0\) ovvero \(\displaystyle rank(A)\leq1\) ovvero
\[
A=\begin{pmatrix}
a & b\\
\lambda a & \lambda b
\end{pmatrix}
\]
ove \(\displaystyle a,b,\lambda\in\mathbb{K}\). Imponi le condizioni che vuoi e risolvi l'esercizio!
Ho risolto correttamente un altro esercizio 
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Suggerimento: riesci a dimostrare che le matrici in considerazione sono entrambe di rango \(1\)?
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Suggerimento: riesci a dimostrare che le matrici in considerazione sono entrambe di rango \(1\)?
Ti ringrazio per la risposta.
Prima di ragionare sulla tua mi piacerebbe chiederti una cosa su qaunto avevo ragionato io:
come caspita si risolverebbe un eventuale sistema:
$ae+bg=0$
$af+bh=0$
$ce+dg=0$
$cf+dh=0$
Associato alle matrici che avevo pensato?
Per qunato chiedevi invece: "riesci a dimostrare che le matrici in considerazione sono entrambe di rango 1?"
Non ho capito se mi stai chiedendo di dimostrarlo per le matrici che hai indicato tu o per le matrici dell'esercizio.
Mi puoi dire bene le ipotesi, così provo a ragionarci
Grazie mille!
Prima di ragionare sulla tua mi piacerebbe chiederti una cosa su qaunto avevo ragionato io:
come caspita si risolverebbe un eventuale sistema:
$ae+bg=0$
$af+bh=0$
$ce+dg=0$
$cf+dh=0$
Associato alle matrici che avevo pensato?
Per qunato chiedevi invece: "riesci a dimostrare che le matrici in considerazione sono entrambe di rango 1?"
Non ho capito se mi stai chiedendo di dimostrarlo per le matrici che hai indicato tu o per le matrici dell'esercizio.
Mi puoi dire bene le ipotesi, così provo a ragionarci
Grazie mille!
Il mio suggerimento è questo: siano \(\displaystyle A,B\in\left(\mathbb{K}\setminus\{0\}\right)^2_2\) tali che \(\displaystyle A\times B=\underline{0}_2^2\), allora dimostra che \(\displaystyle rank(A)=rank(B)=1\)!
Da questo riesci a risolvere anche quel sistema quadratico!
Da questo riesci a risolvere anche quel sistema quadratico!
Devo dire che mi sento parecchio stupido perché non riesco a capire come mi possa aiutare il fatto che:
A*B=0 => rg(A)=rg(B)=1
voglio dire, io cerco due matrici senza alcun elemento nullo t.c. moltiplicate tra loro diano la matrice nulla.
Ora, se io dimostro che il prodotto di A*B implica che il rango delle due è 1 che vantaggio mi da? Non ho sinceramente capito dato che io potrei avere matrici di rango 1 ma che moltiplicate tra loro non diano zero. Quindi in che modo mi aiuta a selezionare quelle desiderate mi sfugge...
A*B=0 => rg(A)=rg(B)=1
voglio dire, io cerco due matrici senza alcun elemento nullo t.c. moltiplicate tra loro diano la matrice nulla.
Ora, se io dimostro che il prodotto di A*B implica che il rango delle due è 1 che vantaggio mi da? Non ho sinceramente capito dato che io potrei avere matrici di rango 1 ma che moltiplicate tra loro non diano zero. Quindi in che modo mi aiuta a selezionare quelle desiderate mi sfugge...
Se una matrice \(\displaystyle A\in\mathbb{K}^2_2 \) ha \(\displaystyle rank(A)=1\) allora
\[ A=\begin{pmatrix} a & b\\ \lambda a & \lambda b \end{pmatrix} \]
ove \( \displaystyle a,b,\lambda\in\mathbb{K} \). Questo ti semplifica di brutto la risoluzione del tuo sistema!
Ora ti chiaro?
\[ A=\begin{pmatrix} a & b\\ \lambda a & \lambda b \end{pmatrix} \]
ove \( \displaystyle a,b,\lambda\in\mathbb{K} \). Questo ti semplifica di brutto la risoluzione del tuo sistema!
Ora ti chiaro?
Ah ok, beh questo certamente sì.
Tuttavia forse avevo frainteso ma avevo capito mi stessi indicando di dimostrare che
A*B=0 => rg(A)=rg(B)=1 e da questo dedurre che quando il rango è uno potessi in qualche modo dire che la matrice è nulla nel prodotto.
Invece, ovviamente, devo diciamo operare un cambio: $c= lambdaa$ e $d= lambdab$ e poi risolvere il sistema.
Detto ciò, nel frattempo ho provato a dimostrare A*B=0 => rg(A)=rg(B)=1, ma non mi sono venute grandi idee
Tuttavia forse avevo frainteso ma avevo capito mi stessi indicando di dimostrare che
A*B=0 => rg(A)=rg(B)=1 e da questo dedurre che quando il rango è uno potessi in qualche modo dire che la matrice è nulla nel prodotto.
Invece, ovviamente, devo diciamo operare un cambio: $c= lambdaa$ e $d= lambdab$ e poi risolvere il sistema.
Detto ciò, nel frattempo ho provato a dimostrare A*B=0 => rg(A)=rg(B)=1, ma non mi sono venute grandi idee
Bene: ti sei sbloccato!
Sapresti escludere che, sotto le correnti ipotesi, entrambe le matrici abbiano rango \(2\)?
Sapresti escludere che, sotto le correnti ipotesi, entrambe le matrici abbiano rango \(2\)?
Ti ringrazio per l'aiuto a ragionare.
Devo dire che ho provato un po' ma per adesso non mi vengono idee davvero intelligenti.
Ho provato per assurdo assumento A*B=0 e rg(A)=2 e rg(B)=2 e vedere se arrivavo a qualche contraddizione ma non mi vengono idee per sfruttare nulla.
Poi ho provato assumendo A*B=0 e rg(A)=2 e vedere se potevo dire qualcosa su rg(B) che potesse essere per forza diverso da zero. Ma anche qui ho fallito. Uhm
Devo dire che ho provato un po' ma per adesso non mi vengono idee davvero intelligenti.
Ho provato per assurdo assumento A*B=0 e rg(A)=2 e rg(B)=2 e vedere se arrivavo a qualche contraddizione ma non mi vengono idee per sfruttare nulla.
Poi ho provato assumendo A*B=0 e rg(A)=2 e vedere se potevo dire qualcosa su rg(B) che potesse essere per forza diverso da zero. Ma anche qui ho fallito. Uhm
Se entrambe le matrici avessere rango \(\displaystyle2\) cosa potresti dire sui loro determinanti?
Ah giusto! Grazie!!
$rg(A*B)=0 => det(A*B)=0$
Ipotizziamo per assurdo $rg(A)=rg(B)=2$, allora:
$det(A)!=0$ e $det(B)!=0$ avendo rango max
A questo punto per binet: $det(A*B)=0!=det(A)*det(B)$ assurdo.
Siccome il rg di AB è corretto, l'assurdo arriva dall'aver assundo i ranghi di A e B massimi (che implicano det non nullo).
Da cui, il rango di A e B non possono essere 2/massimi.
PS: siccome mi hai aiutato molto, potrei chiederti un consiglio anche per questa (se hai voglia)? https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&t=228615
MI scervello da un po'
$rg(A*B)=0 => det(A*B)=0$
Ipotizziamo per assurdo $rg(A)=rg(B)=2$, allora:
$det(A)!=0$ e $det(B)!=0$ avendo rango max
A questo punto per binet: $det(A*B)=0!=det(A)*det(B)$ assurdo.
Siccome il rg di AB è corretto, l'assurdo arriva dall'aver assundo i ranghi di A e B massimi (che implicano det non nullo).
Da cui, il rango di A e B non possono essere 2/massimi.
PS: siccome mi hai aiutato molto, potrei chiederti un consiglio anche per questa (se hai voglia
)? https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&t=228615MI scervello da un po'
Non viene nessun determinante uguale a \(4\)!
Quindi almeno delle due matrici ha rango \(1\); usa il suggerimento precedente che ti ricollega al sistema quadratico: cosa ottieni?
Quindi almeno delle due matrici ha rango \(1\); usa il suggerimento precedente che ti ricollega al sistema quadratico: cosa ottieni?
No, quella è una svista in effetti è il rango che era 2 non il determinante ovviamente.
Volevo scrivere: $det(A⋅B)=0≠det(A)⋅det(B)$ per quanto sopra detto. Correggo, a me sembra tornare ora no?
Seguendo invece altra via...
Invece se volessi sfruttare il suggerimento:
Uhm non ho grandi idee.
Volevo scrivere: $det(A⋅B)=0≠det(A)⋅det(B)$ per quanto sopra detto. Correggo
, a me sembra tornare ora no?Seguendo invece altra via...
Invece se volessi sfruttare il suggerimento:
"j18eos":
Se una matrice \(\displaystyle A\in\mathbb{K}^2_2 \) ha \(\displaystyle rank(A)=1\) allora
\[ A=\begin{pmatrix} a & b\\ \lambda a & \lambda b \end{pmatrix} \]
ove \( \displaystyle a,b,\lambda\in\mathbb{K} \). Questo ti semplifica di brutto la risoluzione del tuo sistema!
Ora ti chiaro?
Uhm non ho grandi idee.
Bene, così ottieni \(\displaystyle c=\lambda a,d=\lambda b\); poi che combini?
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