Trovare una base di un sottospazio vettoriale
Durante lo svolgimento di questo tipo di esercizio mi vengono alcuni dubbi:
Nello spazio vettoriale \(M_2\mathbf(R)\) si consideri
$U={( (\alpha+\gamma,\beta+\gamma),(\alpha+\beta+2\gamma,-\beta-\gamma))inM(R) | \alpha,\beta,\gamma inM(R)}$
Determinare una base e dimU :
Svolgimento:
Assegno i valori $\alpha=1, \beta=0, \gamma=0$ e ottengo $((1,0),(1,0))$
Assegno i valori $\alpha=0, \beta=1, \gamma=0$ e ottengo $((0,1),(1,-1))$
Assegno i valori $\alpha=0, \beta=0, \gamma=1$ e ottengo $((1,1),(2,-1))$
Noto che la terza è la prima + la seconda, quindi è linearmente dipendente dalle altre, concludo:
$B=(((0,1),(1,-1))),(((1,0),(1,0)))$ e quindi $dimU=2$
Il risultato è corretto, ma non sono sicuro del procedimento.. avrei potuto assegnare valori diversi..per esempio
$\alpha=1,\beta=1,\gamma=1$
$\alpha=1,\beta=0,\gamma=0$
$\alpha=0,\beta=0,\gamma=1$
Oppure devono essere tutti diversi?
Diciamo che i valori scelti prima sono stati scelti per arrivare al risultato del testo, ma non ho ancora capito perché usare quei valori? lo stesso anche per gli altri esercizi..
Grazie
Nello spazio vettoriale \(M_2\mathbf(R)\) si consideri
$U={( (\alpha+\gamma,\beta+\gamma),(\alpha+\beta+2\gamma,-\beta-\gamma))inM(R) | \alpha,\beta,\gamma inM(R)}$
Determinare una base e dimU :
Svolgimento:
Assegno i valori $\alpha=1, \beta=0, \gamma=0$ e ottengo $((1,0),(1,0))$
Assegno i valori $\alpha=0, \beta=1, \gamma=0$ e ottengo $((0,1),(1,-1))$
Assegno i valori $\alpha=0, \beta=0, \gamma=1$ e ottengo $((1,1),(2,-1))$
Noto che la terza è la prima + la seconda, quindi è linearmente dipendente dalle altre, concludo:
$B=(((0,1),(1,-1))),(((1,0),(1,0)))$ e quindi $dimU=2$
Il risultato è corretto, ma non sono sicuro del procedimento.. avrei potuto assegnare valori diversi..per esempio
$\alpha=1,\beta=1,\gamma=1$
$\alpha=1,\beta=0,\gamma=0$
$\alpha=0,\beta=0,\gamma=1$
Oppure devono essere tutti diversi?
Diciamo che i valori scelti prima sono stati scelti per arrivare al risultato del testo, ma non ho ancora capito perché usare quei valori? lo stesso anche per gli altri esercizi..
Grazie
Risposte
Avresti potuto costruire un vettore con tutte le componenti uguali a $1$ senza problemi.Per definizione una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, se rispettano queste due condizioni sei apposto 
Quello di prendere vettori tipo $(1,0 ..... 0)$, $(0,1.....0)$ ecc non è proprio casuale.Viene detta base canonica e in molti casi è la più comoda
Quello di prendere vettori tipo $(1,0 ..... 0)$, $(0,1.....0)$ ecc non è proprio casuale.Viene detta base canonica e in molti casi è la più comoda
"caffeinaplus":
Avresti potuto costruire un vettore con tutte le componenti uguali a $1$ senza problemi.Per definizione una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, se rispettano queste due condizioni sei apposto
Quello di prendere vettori tipo $(1,0 ..... 0)$, $(0,1.....0)$ ecc non è proprio casuale.Viene detta base canonica e in molti casi è la più comoda
Ok. ti ringrazio, mi mancava proprio il concetto di base canonica
Se posso, in questo tipo di esercizi spesso è comodo usare l’isomorfismo canonico tra la spazio delle matrici quadrate di dimensione $n$ a coefficienti in un campo $\mathbb{K}$ e $\mathbb{K}^{n^2}$!
P. S. : $\alpha, \beta, \gamma \in RR$
P. S. : $\alpha, \beta, \gamma \in RR$
"Bremen000":
Se posso, in questo tipo di esercizi spesso è comodo usare l’isomorfismo canonico tra la spazio delle matrici quadrate di dimensione $n$ a coefficienti in un campo $\mathbb{K}$ e $\mathbb{K}^{n^2}$!
P. S. : $\alpha, \beta, \gamma \in RR$
Beh un'ulteriore consiglio è sempre ben accetto
.. purtroppo però non so cosa intendi con isomorfismo canonico potresti far un'esempio?
Eccomi, l'isomorfismo canonico (cioè io l'ho sempre sentito chiamare così) è questo:
$$f: \mathbb{K}^n \to \mathbb{M}_{\mathbb{K}}(n,n) $$
$$ v \mapsto M \quad : \quad M_{ij}=v_{n(i-1)i+j}$$
Che è un modo preciso per dire che, ad esempio, alla matrice $((1,2),(4,5))$ è associato $((1),(2),(3),(4))$.
In questa maniera ti riconduci sempre a lavorare su vettori colonna, ai quali, in teoria, si è più abituati.
$$f: \mathbb{K}^n \to \mathbb{M}_{\mathbb{K}}(n,n) $$
$$ v \mapsto M \quad : \quad M_{ij}=v_{n(i-1)i+j}$$
Che è un modo preciso per dire che, ad esempio, alla matrice $((1,2),(4,5))$ è associato $((1),(2),(3),(4))$.
In questa maniera ti riconduci sempre a lavorare su vettori colonna, ai quali, in teoria, si è più abituati.
Scusate se torno a bomba, in effetti sono d'accordo con Anacleto che lo svolgimento è incompleto. Secondo me andrebbe prima di tutto osservato che la famiglia
\[
A= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1& 0 \end{bmatrix} , B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1& -1 \end{bmatrix} , C=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2& -1 \end{bmatrix} \]
genera \(U\). E qui non occorre scomodare concetti nuovi (basi canoniche etc...), ma semplicemente RISCRIVERE la definizione di \(U\) così:
\[
U=\{ \alpha A + \beta B + \gamma C\ : \ \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb R\}.\]
Ecco spiegata l'importanza delle terne \((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\): è una questione puramente pratica, sono comode perché permettono di passare velocemente dalla rappresentazione parametrica di un vettore (come quella nell'OP) ad una rappresentazione sotto forma di combinazione lineare. Non c'è nient'altro, non è un concetto matematicamente profondo.
A questo punto siamo arrivati a dire che \(U\) è generato dai tre vettori \(A, B, C\) e bisogna *estrarne una base*. Qui non so la terminologia usata nel corso o sul libro di Anacleto, ma spesso si parla di *algoritmo di eliminazione*. Ed è proprio ciò che Anacleto ha fatto nel post originario: eliminare i vettori che dipendono linearmente dagli altri, verificare se ciò che si è ottenuto è una famiglia linearmente indipendente, ripetere.
\[
A= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1& 0 \end{bmatrix} , B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1& -1 \end{bmatrix} , C=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2& -1 \end{bmatrix} \]
genera \(U\). E qui non occorre scomodare concetti nuovi (basi canoniche etc...), ma semplicemente RISCRIVERE la definizione di \(U\) così:
\[
U=\{ \alpha A + \beta B + \gamma C\ : \ \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb R\}.\]
Ecco spiegata l'importanza delle terne \((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\): è una questione puramente pratica, sono comode perché permettono di passare velocemente dalla rappresentazione parametrica di un vettore (come quella nell'OP) ad una rappresentazione sotto forma di combinazione lineare. Non c'è nient'altro, non è un concetto matematicamente profondo.
A questo punto siamo arrivati a dire che \(U\) è generato dai tre vettori \(A, B, C\) e bisogna *estrarne una base*. Qui non so la terminologia usata nel corso o sul libro di Anacleto, ma spesso si parla di *algoritmo di eliminazione*. Ed è proprio ciò che Anacleto ha fatto nel post originario: eliminare i vettori che dipendono linearmente dagli altri, verificare se ciò che si è ottenuto è una famiglia linearmente indipendente, ripetere.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo