Trovare una base di un sottospazio di R^3*3
Salve a tutti!
Stavo cercando di svolgere questo esercizio di algebra lineare ma ho qualche dubbio sul come procedere nella risoluzione. La traccia è la seguente:
In $RR^(3×3)$ sia $H = { ( ( a+b+d, c -b-d, 0),(c , c , b+d ),( a-b-d, b+d , c) ) | a,b,c,d in RR$
1) si provi che H è un sottospazio di $RR^(3×3)$;
2) si determini una base e la dimensione di H.
Ho svolto il primo punto dell'esercizio ma non riesco a svolgere il secondo punto. Infatti, ho cercato di individuare una base applicando il teorema del completamento ma incontro una certa difficoltà. Prima di tutto mi chiedevo: come faccio a stimare la dimensione di H prima di individuarne una base? Se per esempio la dimensione fosse 4 e i vettori dati hanno solo 3 componenti posso aggiungere il quarto componente ponendolo nullo?
Grazie a tutti in anticipo e spero di essermi spiegato.
Stavo cercando di svolgere questo esercizio di algebra lineare ma ho qualche dubbio sul come procedere nella risoluzione. La traccia è la seguente:
In $RR^(3×3)$ sia $H = { ( ( a+b+d, c -b-d, 0),(c , c , b+d ),( a-b-d, b+d , c) ) | a,b,c,d in RR$
1) si provi che H è un sottospazio di $RR^(3×3)$;
2) si determini una base e la dimensione di H.
Ho svolto il primo punto dell'esercizio ma non riesco a svolgere il secondo punto. Infatti, ho cercato di individuare una base applicando il teorema del completamento ma incontro una certa difficoltà. Prima di tutto mi chiedevo: come faccio a stimare la dimensione di H prima di individuarne una base? Se per esempio la dimensione fosse 4 e i vettori dati hanno solo 3 componenti posso aggiungere il quarto componente ponendolo nullo?
Grazie a tutti in anticipo e spero di essermi spiegato.
Risposte
Il vettore tipo di $H$ sarà una cosa del tipo
$a((1,0,0),(0,0,0),(1,0,0))+ b((1,-1,0),(0,0,1),(-1,1,0))+...$(completa)
Le matrici ottenute saranno i generatori. Dopo dovrai controllare quali sono linearmente indipendenti.
Paola
$a((1,0,0),(0,0,0),(1,0,0))+ b((1,-1,0),(0,0,1),(-1,1,0))+...$(completa)
Le matrici ottenute saranno i generatori. Dopo dovrai controllare quali sono linearmente indipendenti.
Paola
Completando ciò che avevi scritto si ha:
$...c ( ( 0 , 1, 0 ),( 1 , 1 , 0),( 0 , 0, 1) ) + d ((1, -1, 0),(0,0,1),(-1, 1, 0))$
Di conseguenza, la prima matrice e la terza, essendo linearmente indipendenti, sarebbero due basi del sottospazio $H$?
La dimensione dovrebbe essere 3?
Grazie per la risposta!
$...c ( ( 0 , 1, 0 ),( 1 , 1 , 0),( 0 , 0, 1) ) + d ((1, -1, 0),(0,0,1),(-1, 1, 0))$
Di conseguenza, la prima matrice e la terza, essendo linearmente indipendenti, sarebbero due basi del sottospazio $H$?
La dimensione dovrebbe essere 3?
Grazie per la risposta!
Linguaggio sbagliato.
La seconda e la quarta matrice sono uguali, dunque ne scartiamo una (la 4).Si vede ad occhio che le rimanenti 3 sono linearmente indipendenti, quindi esse formano una base e la dimensione $3$. Nel caso non lo vedessi ad occhio, fai così: scrivi ogni matrice come vettore di $\mathbb{R}^9$, metti i 3 vettori come righe di una matrice e calcolane il rango: esso corrisponderà al numero di vettori linearmente indipendenti.
Paola
La seconda e la quarta matrice sono uguali, dunque ne scartiamo una (la 4).Si vede ad occhio che le rimanenti 3 sono linearmente indipendenti, quindi esse formano una base e la dimensione $3$. Nel caso non lo vedessi ad occhio, fai così: scrivi ogni matrice come vettore di $\mathbb{R}^9$, metti i 3 vettori come righe di una matrice e calcolane il rango: esso corrisponderà al numero di vettori linearmente indipendenti.
Paola
Quindi si dovrebbe inserire una matrice $3$x$9$? La matrice in questione dovrebbe essere: $((1,0,0,0,0,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0,1,-1,1,0),(0,1,0,1,1,0,0,0,1))$?
Ogni matrice la devo considerare come un vettore composto da 9 elementi?Se si, devo calcolare il rango della matrice che ho scritto prima?
Ogni matrice la devo considerare come un vettore composto da 9 elementi?Se si, devo calcolare il rango della matrice che ho scritto prima?
Questo punto non è chiaro neanche a me...nessuno può aiutarci?
Direi che è chiaro che c'è un isomorfismo tra matrici reali $3\times 3$ e $\mathbb{R}^9$.
La matrice è quella che dici tu e sì, ne devi calcolare il rango, che corrisponde al numero di vettori linearmente indipendenti.
Paola
La matrice è quella che dici tu e sì, ne devi calcolare il rango, che corrisponde al numero di vettori linearmente indipendenti.
Paola
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