Trovare una base

[MissFoxy394]

Il testo dell'esercizio è:

Trovare un sottoinsieme di $u1, u2, u3, u4 $ che sia base per $ W = $ dove:
$ u1 =( 1, -2, 1, 3, -1)$
$ u2 =(-2, 4, -2, -6, 2)$
$ u3 =(1, -3, 1, 2, 1)$
$ u4 =(3, -7, 3, 8, -1) $

Svolgimento:
Dal numero di vettori deduco che siamo in $R^4$, quindi, anche se le colonne sono 5, il massimo che otterrò sarà di dimensione $<= 4 $
$ [ ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( -2 , 4 , -2 , -6 , 2 ),( 1 , -3 , 1 , 2 , 1 ),( 3 , -7 , 3 , 8 , -1 ) ] rarr [ ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , -1 , 2 ),( 0 , -1 , 0 , -1 , 2 ) ] rarr [ ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ] $

Ne deduco che $u1$ e $u3$ sono linearmente indipendenti e che $u2$ e $u4$ sono combinazioni degli altri vettori.
Il problema è, come interpreto questo risultato? È giusto dire che $u1$ e $u3$ sono basi?

[Magma1]

Se con $< cdot >$ intendi l'insieme dei generatori (o Span) allora, per il lemma di Steinitz, una base $mathcalB$ non può che essere

$mathcalB sube {u_1,u_2,u_3,u_4}$.

determinabile scartando tutti i vettori che sono C. L. degli altri, cioè considerando solo i vettori che sono l.i. .

[Bokonon]

"MissFoxy":Il testo dell'esercizio è:

Trovare un sottoinsieme di $u1, u2, u3, u4 $ che sia base per $ W = $ dove:
$ u1 =( 1, -2, 1, 3, -1)$
$ u2 =(-2, 4, -2, -6, 2)$
$ u3 =(1, -3, 1, 2, 1)$
$ u4 =(3, -7, 3, 8, -1) $

Svolgimento:
Dal numero di vettori deduco che siamo in $R^4$, quindi, anche se le colonne sono 5, il massimo che otterrò sarà di dimensione $<= 4 $
$ [ ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( -2 , 4 , -2 , -6 , 2 ),( 1 , -3 , 1 , 2 , 1 ),( 3 , -7 , 3 , 8 , -1 ) ] rarr [ ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , -1 , 2 ),( 0 , -1 , 0 , -1 , 2 ) ] rarr [ ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , -2 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ] $

Ne deduco che $u1$ e $u3$ sono linearmente indipendenti e che $u2$ e $u4$ sono combinazioni degli altri vettori.
Il problema è, come interpreto questo risultato? È giusto dire che $u1$ e $u3$ sono basi?

Ciao, i vettori hanno 5 componenti quindi sono in $R^5$
Se li metti per riga e poi derivi una base di vettori che hanno 4 componenti, allora qualcosa non va
Scrivi la matrice mettendoli in colonna e poi lavora con gauss-jordan per trovare la matrice a gradini.
A quel punto, vedrai chiaramente chi è combinazione lineare di chi e potrai tornare alla matrice originale e segnarti i corrispondenti vettori indipendenti che formeranno una base per un sottospazio di $R^5$

[Magma1]

"Bokonon":
[quote="MissFoxy"]Dal numero di vettori deduco che siamo in $R^4$

i vettori hanno 5 componenti quindi sono in $RR^5$[/quote]
Giusto, non ci avevo fatto caso.

"Bokonon":
Se li metti per riga e poi derivi una base di vettori che hanno 4 componenti, allora qualcosa non va

Questa non l'ho capita: mettendo i vettori in riga si fa la riduzione per righe e il numero di righe non nulle equivale al numero di vettori indipendenti: $u_1, u_3$ sono l.i. e costituiscono una base per $W$.

[Bokonon]

"Magma":
Questa non l'ho capita: mettendo i vettori in riga si fa la riduzione per righe e il numero di righe non nulle equivale al numero di vettori indipendenti: $u_1, u_3$ sono l.i. e costituiscono una base per $W$.

Come potrebbero dei vettori di $R^4$ essere una base di un sottospazio di $R^5$?
Esempio: se ti do due vettori indipendenti di $R^3$ non formano di certo una base di $R^3$, ma sono una base per un sottospazio di $R^3$ di dimensione 2, ovvero un piano. Ma comunque restano in $R^3$. Non è che se è un piano in $R^3$ allora lo "degrado" automaticamente in $R^2$.
Per scopi [size=200]pratici[/size] potrei farlo. Mi basterebbe traslare quel piano fino all'origine e ruotarlo finchè non è perfettamente parallelo a due assi....MA nella nuova base. Poi potrei eliminare la terza componente e trattarlo come $R^2$.
E nella sostanza è esattamente lo scopo per cui usano l'algebra lineare nel mondo pratico, ovvero trovare trasformazioni che rendano l'input molto più chiaro e manipolabile. Le scomposizioni servono a questo.
Per esempio la SVD non è altro che quella che in gergo statistico si chiama analisi delle componenti principali e credimi viene applicata anche in questo instante analizzando i nostri dati che riversiamo in rete per catalogarci e poi vendere a terzi l'infomazione su come agire sui differenti gruppi target. E' semplice marketing applicato.
La SVD può anche esserre usata ad esempio per comprimere le immagini o uno streaming di un video...anche se come trasformazione è troppo costosa in tempi di calcolo e quindi usano altre "basi" più economiche ma comunque efficienti.
E' tutto qua in a nutshell (come direbbero gli americani)

[Magma1]

"Bokonon":Come potrebbero dei vettori di $R^4$ essere una base di un sottospazio di $R^5$?

Scusami ma non ti capisco.
$u_1$ e $u_2$ appartengono a $RR^5$. Non riesco a capire quali siano i vettori di $RR^4$.

Intravedo che l'SVD sia una sorta di isomorfismo.

[Bokonon]

"Magma":$u_1$ e $u_2$ appartengono a $RR^5$. Non riesco a capire quali siano i vettori di $RR^4$.

Ok , allora una base per un sottospazio di $R^5$ è formata da due vettori in $R^4$
Come vuoi magma..adios

[Magma1]

"Bokonon":[quote="Magma"]$ u_1 $ e $ u_2 $ appartengono a $ RR^5 $. Non riesco a capire quali siano i vettori di $ RR^4 $.

Ok , allora una base per un sottospazio di $ R^5 $ è formata da due vettori in $ R^4 $[/quote]

$ u_1=(( 1),( -2), (1), (3),( -1)) , u_3= ((1), (-3), (1), (2),( 1)) in RR^5$

Per una volta che potevamo andare d'accordo

"Magma":[quote="Bokonon"]
[quote="MissFoxy"]Dal numero di vettori deduco che siamo in $ R^4 $

i vettori hanno 5 componenti quindi sono in $ RR^5 $[/quote]
Giusto, non ci avevo fatto caso.
[/quote]

[Bokonon]

Oh vediamo se ho capito. Io mi sbatto a correggere un errore per cui ha messo i vettori per riga e poi non ha scelto i vettori per riga e tu invece parli di metterli per riga e secglierli per riga quando ovviamnete non ha fatto così.
Io provo a dare un metodo/ordine pressochè unanimamente accettato di mettere i vettori per colonna e sceglierli dalle colonne e tu stai qua a rompere i coglioni che si può fare anche per riga. Ho messo a fuoco la cosa?
Se per te è un gioco aiutare il prossimo dovresti davvero levarti dalle palle...e ne parlerò con i moderatori.

[Magma1]

"Bokonon":Oh vediamo se ho capito. Io mi sbatto a correggere un errore per cui ha messo i vettori per riga e poi non ha scelto i vettori per riga e tu invece parli di metterli per riga e secglierli per riga quando ovviamnete non ha fatto così.

L'OP ha messo i vettori in riga, ridotto per righe e scelto le righe non nulle:

"MissFoxy":
Ne deduco che $ u1 $ e $ u3 $ sono linearmente indipendenti È giusto dire che $ u1 $ e $ u3 $ sono basi?

"Bokonon":
Io provo a dare un metodo/ordine pressochè unanimamente accettato di mettere i vettori per colonna e sceglierli dalle colonne e tu stai qua a rompere i coglioni che si può fare anche per riga. Ho messo a fuoco la cosa?
Se per te è un gioco aiutare il prossimo dovresti davvero levarti dalle palle...e ne parlerò con i moderatori.

Dovrebbe moderare il linguaggio.

[Bokonon]

"Magma":
L'OP ha messo i vettori in riga, ridotto per righe e scelto le righe non nulle:

Se volevi intervenire costruttivamente avresti semplicemente scritto "Se li metti per riga, li scegli per riga"
Invece non hai detto una fava e hai criticato un modello perfettamente analogo, ovvero metterli per colonna e sceglierli per colonna.
Ora ne parlo con un mod.

[Magma1]

"Bokonon":
Se volevi intervenire costruttivamente avresti semplicemente scritto "Se li metti per riga, li scegli per riga"

Perché avrei dovuto sottolineare una cosa che l'OP avevo già fatto?
Perché continua insolentemente a sostenere che l'OP abbia messo i vettori in riga e poi preso quelli in colonna?

"Bokonon":[quote="Magma"]
L'OP ha messo i vettori in riga, ridotto per righe e scelto le righe non nulle:

Invece non hai detto una fava e hai criticato un modello perfettamente analogo, ovvero metterli per colonna e sceglierli per colonna.[/quote]
Io non ho criticato il suo modo, cercavo di farle notare che l'OP aveva fatto bene… Non ha avuto nemmeno la decenza di rileggere il post iniziale nonostante glielo stessi facendo notare varie volte!

[Bokonon]

"Magma":
Io non ho criticato il suo modo, cercavo di farle notare che l'OP aveva fatto bene… Non ha avuto nemmeno la decenza di rileggere il post iniziale nonostante glielo stessi facendo notare varie volte!

Hai ragione e me ne scuso
Avevo letto solo :

"MissFoxy":Dal numero di vettori deduco che siamo in $R^4$

...e pensato che li avesse scelti per colonna visto che le colonne sono vettori di $R^4$
Non ho nemmeno guardato all'esercizio perchè era troppo banale e ho peccato di superbia.
Li stava scegliendo riga...e questo mi lascia ancora più perplesso, LOL
Scusami Magma, ero nel torto più completo.
Comunque sia, io ho indicato un metodo migliore a tutti gli effetti per NON incappare in errori negli esercizi.
Per quanto vi siano persone che usano le righe, lo standard è per colonna come in tutti i manuali...altrimenti non si distingue più una $A$ da una $A^T$. Il linguaggio comune è importante, altrimenti domani mi invento dei simboli e scrivo i differenziali a capocchia, no?
Ok?

[Magma1]

"Bokonon":
Per quanto vi siano persone che usano le righe, lo standard è per colonna come in tutti i manuali...

Questo è opinabile. Infatti, in questo caso disporle per riga è una scelta furba in quanto consente di fare meno calcoli:

$ ( ( 1 , -2 , 1 , 3 , -1 ),( -2 , 4 , -2 , -6 , 2 ),( 1 , -3 , 1 , 2 , 1 ),( 3 , -7 , 3 , 8 , -1 ) ) qquad \text{anziché } qquadqquad ( (1,-2,1,3 ),(-2,4,-3,-7 ),( 1,-2,1,3),( 3,-6,2,8 ),( -1,2,1,-1) )$

nel primo caso ($4xx5$) si devono annullare $2$ righe, mentre nel secondo ($5xx4$) se ne devono annullare $2+1$ in quanto $r(A)=min{4,5}$.

[MissFoxy394]

Ehm okay non chiedo più niente ahahhahaha

Volevo solo sapere qual è un sottoinsieme di $u1,u2,u3,u4 $, perché, anche se magari è banale per alcuni, era la prima volta che ne facevo uno così e non avevo i risultati, non volevo scatenare una guerra civile

[Magma1]

Un sottoinsieme di ${u_1,u_2,u_3,u_4}$ che sia base[nota]Una base è un insieme di vettori che sono generatori e l.i.[/nota] di $W=mathcalL {u_1,u_2,u_3,u_4}$ è proprio ${u_1, u_3}$.

[feddy]

https://math.stackexchange.com/question ... umn-vector