Trovare un vettore rispetto ad una base

[ttizi]

Ciao a tutti, avrei questo problema su questo esercizio:
Sia v ∈ R^3 un vettore avente componenti (−1,0,7) rispetto alla base B di R^3, B ={(1,1,1),(2,3,1),(1,0,0)}. Determinarne le componenti di v rispetto alla base B1 ={(1,0,2),(1,3,1),(1,1,0)} (5 punti).
Le soluzioni dell'esercizio sono: Sol: (1,-3,8) ma a me vengono altri risultati.
il procedimento che ho utilizzato è il seguente...
(-1,0,7)= a(1,0,2) + b(1,3,1) + c(1,1,0).
{a+b+c= -1
3b+c=0
2a+b=7}

è giusto come procedimento? grazie mille in anticipo

[Sk_Anonymous]

Il procedimento giusto è come segue-
Si comincia con l'esprimere i vettori di $B_1$ ciascuno come combinazione lineare dei vettori di $B$.
Con qualche calcolo si ha:
$ (1,0,2)^t=3(1,1,1)^t-1(2,3,1)t+0(1,0,0)^t $
$(1,3,1)=0(1,1,1)^t+1(2,3,1)^t-1(1,0,0)^t$
$(1,1,0)=-1/2(1,1,1)^t+1/2(2,3,1)^t+1/2(1,0,0)^t$
La matrice M che permette il passaggio da $B$ a $B_1$ è quella che ha per colonne i coefficienti delle precedenti combinazioni lineari:
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix}3&0&-1/2\\-1&1&1/2\\0&-1&1/2\end{pmatrix} \)
A questo punto per avere quanto richiesto devi fare questo calcolo :
\(\displaystyle v_{B_1}=M^{-1}\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\7\end{pmatrix} \)
Il risultato sarà quello indicato dal testo.

[lukath]

C'è un errore nel procedimento: in realtà il vettore $((-1),(0),(7))$ è vettore delle COORDINATE del vettore $v$ rispetto alla base $B$. Detto ciò, $v$ si ottiene mediante una combinazione dei vettori della base avente come coefficienti le componenti del vettore delle coordinate, ovvero:

$v=-1*((1),(1),(1)) + 0*((2),(3),(1)) + 7*((1),(0),(0))=((6),(-1),(-1))$

A quel punto metti a sistema:

$\{(a+b+c=6),(3b+c=-1),(2a+b=-1):}$

Il risultato dovrebbe essere proprio $((1),(-3),(8))$

[ttizi]

perfetto grazie mille! Non avevo ben capito come dovevo risolverlo