Trovare un vettore parallelo all'intersezione dei due piani seguenti.

[giuscri]

Siano dati i due piani in \( \mathbb{R}^3 \):
\[ 2x -y + z = 1 \quad 3x + y + z = 2 \]
Trovare un vettore parallelo all'intersezione dei due piani.

Qualche perplessita': piu' che altro non mi e' chiaro come possa controllare che il risultato trovato sia corretto --non mi viene in mente nessuna prova del nove.
Ad ogni modo: posso vedere il primo piano, per esempio, come
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \; \text{con} \; 2x - y + z = 1\]
cioe', l'insieme di vettori di \( \mathbb{R}^3 \) che posso vedere come
\[ \begin{bmatrix} x \\ 2x + z - 1 \\ z \end{bmatrix} \]
Discorso analogo per il secondo piano: posso vederlo come l'insieme di vettori che scritti come
\[ \begin{bmatrix} x \\ 2 - 3x - z \\ z \end{bmatrix} \]
A questo punto, gli oggetti che stanno nell'intersezione saranno tali da avere la seconda coordinata uguale (le altre due sono gia' fissate ai medesimi valori \( x \) e \( z \)). Quindi, per trovare i vettori nell'intersezione dei due piani andro' ad imporre
\[ 2x + z - 1 = 2 - 3x - z \Rightarrow x = \frac{1}{5} (3 - 2z) \]
Quindi, il generico vettore dell'intersezione sara'
\[ \begin{bmatrix} \frac{3}{5} - \frac{2}{5} z \\ \frac{1}{5} (z +1) \\ z \end{bmatrix} \]
cioe' ...una retta traslata!, con direzione puntata dal vettore
\[ \begin{bmatrix} -2/5 \\ 1/5 \\ 1 \end{bmatrix} \]
che e' il vettore che cercavo --forse.

Questions: e' tutto ok?; c'e' un metodo piu' spiccio, piu' brillante, piu' carino per risolvere la questione? Come mi posso accorgere che sia il risultato giusto (c'e' una qualche caratterizzazione dei vettori paralleli che mi sfugge, forse?)

Ringrazio

[G.Sciaguato]

Ti faccio notare che calcolando il prodotto vettoriale dei due vettori normali ai due piani, ottieni immediatamente il vettore cercato, perché si tratta del vettore direzionale della retta generata dall'intersezione.

[giuscri]

"G.Sciaguato":Ti faccio notare che calcolando il prodotto vettoriale dei due vettori normali ai due piani, ottieni immediatamente il vettore cercato, perché si tratta del vettore direzionale della retta generata dall'intersezione.

Mmm. Ho fatto una rapidissima ricerca ...e' il prodotto wedge. L'ho gia' visto, ma mai usato seriamente. Che \( \mathbf{v} \times \mathbf{w} \) generi un vettore normale al piano individuato da \( \mathbf{v} \) e da \( \mathbf{w} \) ce l'ho ...piu' tardi vedo di applicarne la definizione e vedere se ottengo lo stesso risultato ottenuto con la procedura che ho proposto nel primo post.

Ti ringrazio intanto

[giuscri]

"G.Sciaguato":Ti faccio notare che calcolando il prodotto vettoriale dei due vettori normali ai due piani, ottieni immediatamente il vettore cercato, perché si tratta del vettore direzionale della retta generata dall'intersezione.

Ok. Al momento non ho spazio per approfondire il prodotto wedge sebbene ne sia profondamente interessato; ad ogni modo si: come mi aspettavo visualmente si ha (seguendo in modo pedestre Wikipedia)
\[ \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]
\[ \Rightarrow -2 \cdot \mathbf{e}_1 + 1 \cdot \mathbf{e}_2 + 5 \cdot \mathbf{e}_3 \]
che punta nella stessa direzione che individuavo nel primo post.

Be', ti ringrazio allora!
Se vuoi aggiungere qualche riferimento su dove possa trovare qualcosa di `formalmente' approfondito a sul prodotto wedge te ne sarei grato.