Trovare un endomorfismo che abbia come immagine di un piano una retta (in ℝ³)
Ciao a tutti,
sono alle prese con la seguente richiesta di un esercizio che ahimè non riesco a formalizzare.
Ho il seguente piano e la seguente retta in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \):
\(\displaystyle \pi: x+2y-2z=4\)
\(\displaystyle r: \left\{\begin{matrix}
x(t)=3t+1
\\
y(t)=-t+3
\\
z(t)=-2t+3
\end{matrix}\right. \)
Si vuole determinare un endomorfismo \(\displaystyle F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) tale che \(\displaystyle F(\pi)=r \).
L'idea di base su cui stavo ragionando, era quella di prendere un generico vettore appartenente a \(\displaystyle Giac(\pi) \) (esprimendolo come combinazione lineare dei due vettori della giacitura stessa) e far sì che venga mappato in un vettore multiplo della direzione di \(\displaystyle r \) (in altri termini che l'immagine fosse un vettore di \(\displaystyle Giac(r) \)). Riuscite a darmi una mano ad argomentare il mio pensiero per arrivare a soluzione, o in caso a trovare una via migliore?
Grazie molte!!!
sono alle prese con la seguente richiesta di un esercizio che ahimè non riesco a formalizzare.
Ho il seguente piano e la seguente retta in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \):
\(\displaystyle \pi: x+2y-2z=4\)
\(\displaystyle r: \left\{\begin{matrix}
x(t)=3t+1
\\
y(t)=-t+3
\\
z(t)=-2t+3
\end{matrix}\right. \)
Si vuole determinare un endomorfismo \(\displaystyle F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) tale che \(\displaystyle F(\pi)=r \).
L'idea di base su cui stavo ragionando, era quella di prendere un generico vettore appartenente a \(\displaystyle Giac(\pi) \) (esprimendolo come combinazione lineare dei due vettori della giacitura stessa) e far sì che venga mappato in un vettore multiplo della direzione di \(\displaystyle r \) (in altri termini che l'immagine fosse un vettore di \(\displaystyle Giac(r) \)). Riuscite a darmi una mano ad argomentare il mio pensiero per arrivare a soluzione, o in caso a trovare una via migliore?
Grazie molte!!!
Risposte
Basta che prendi una base di $RR^3$ costituita da due vettori che generano il piano (e uno esterno) e questo due li mandi in due vettori della retta $r$ (ovviamente tenendo conto che la tua $F$ deve essere un endomorfismo).
"andreadel1988":
Basta che prendi una base di $RR^3$ costituita da due vettori che generano il piano ...
Il problema è che il piano e la retta non sono sottospazi vettoriali.
"Noodles":
Il problema è che il piano e la retta non sono sottospazi vettoriali.
Allora vedi quali sono le traslazioni dal sottospazio corrispondente all'affinità, poi ti trovi $F$ tra i sottospazi e infine applichi le dovute traslazione che ti sei trovato prima ad $F$
Il procedimento sottostante è piuttosto sintetico:
Piano
$x+2y-2z=4 rarr$
$rarr [[x],[y],[z]]=u*[[1],[0],[1/2]]+v*[[0],[1],[1]]+[[0],[0],[-2]]$
Retta
$\{(x=3t+1),(y=-t+3),(z=-2t+3):} rarr$
$rarr [[x],[y],[z]]=t*[[3],[-1],[-2]]+[[1],[3],[3]]$
Endomorfismo
$F[[1],[0],[1/2]]=[[3],[-1],[-2]]$
$F[[0],[1],[1]]=[[3],[-1],[-2]]$
$F[[0],[0],[-2]]=[[1],[3],[3]]$
Verifica
$F[u*[[1],[0],[1/2]]+v*[[0],[1],[1]]+[[0],[0],[-2]]]=$
$=u*F[[1],[0],[1/2]]+v*F[[0],[1],[1]]+F[[0],[0],[-2]]=$
$=u*[[3],[-1],[-2]]+v*[[3],[-1],[-2]]+[[1],[3],[3]]=$
$=(u+v)*[[3],[-1],[-2]]+[[1],[3],[3]]=$
$=t*[[3],[-1],[-2]]+[[1],[3],[3]]$
$u+v=t$
Grazie mille a tutti per il contributo!