Trovare tutte le applicazioni
Buongiorno a tutti!
Ho un esercizio proporvi...
Trovare tutte le applicazioni R-lineari $f:R^3 rarr R^3$ tali che:
$f((1),(1),(3))=((2),(2),(1))$
$f^2 = \iota$
Allora:
Io sono arrivato a trovato le altre f:
$f((2),(2),(1))=((1),(1),(3))$
Per i fini dell'esercizio ho pensato di inserire un'altra applicazione che convalidasse le condizioni;
ad esempio:
$f((1),(0),(0))=((1),(0),(0))$
A questo punto mi sono un po' fermato...
Mi era venuta l'idea di considerare l'ultima applicazione trovata come combinazione lineare di se stessa e delle altre 2 trovate...
Quindi sarei andato a sostituire la mia nuova applicazione a $f^2$...
Solo che il sistema che mi creo è del tipo
${(\alpha_2+\alpha_1\alpha_3=0), (\alpha_1+\alpha_2\alpha_3=0), (\alpha_3^2=0):}$
con $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 in RR$
E dimostro che i multipli sono tutti uguali a 0...
Quindi mi sono posto il dubbio se ho sbagliato ragionamento...
Se avete un'idea più efficace fatemi sapere...
Grazie anticipatamente,
Andrea
Ho un esercizio proporvi...
Trovare tutte le applicazioni R-lineari $f:R^3 rarr R^3$ tali che:
$f((1),(1),(3))=((2),(2),(1))$
$f^2 = \iota$
Allora:
Io sono arrivato a trovato le altre f:
$f((2),(2),(1))=((1),(1),(3))$
Per i fini dell'esercizio ho pensato di inserire un'altra applicazione che convalidasse le condizioni;
ad esempio:
$f((1),(0),(0))=((1),(0),(0))$
A questo punto mi sono un po' fermato...
Mi era venuta l'idea di considerare l'ultima applicazione trovata come combinazione lineare di se stessa e delle altre 2 trovate...
Quindi sarei andato a sostituire la mia nuova applicazione a $f^2$...
Solo che il sistema che mi creo è del tipo
${(\alpha_2+\alpha_1\alpha_3=0), (\alpha_1+\alpha_2\alpha_3=0), (\alpha_3^2=0):}$
con $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 in RR$
E dimostro che i multipli sono tutti uguali a 0...
Quindi mi sono posto il dubbio se ho sbagliato ragionamento...
Se avete un'idea più efficace fatemi sapere...
Grazie anticipatamente,
Andrea
Risposte
cosa intendi per R-lineare ?
Bo... Infatti non l'ho capita quella cosa... Ho semplicemente riportato il testo del professore... è sul libro scritto a mano...
Ragazzi andiamo 
R-lineare vuol dire lineare sul campo R.
Una funzione $f:V to W$ tra due $RR$-spazi vettoriali si dice $RR$-lineare se $f(au+bv)=af(u)+bf(v)$ per ogni $a,b in RR$, $u,v in V$.
Andrea990, hai provato a ragionare in termini di matrici?
Prova a scrivere la matrice della tua $f$ in una base i cui primi due vettori siano $((1),(1),(3))$ e $((2),(2),(1))$.
R-lineare vuol dire lineare sul campo R.Una funzione $f:V to W$ tra due $RR$-spazi vettoriali si dice $RR$-lineare se $f(au+bv)=af(u)+bf(v)$ per ogni $a,b in RR$, $u,v in V$.
Andrea990, hai provato a ragionare in termini di matrici?
Prova a scrivere la matrice della tua $f$ in una base i cui primi due vettori siano $((1),(1),(3))$ e $((2),(2),(1))$.
grazie mille Martino... sapevo cosa voleva dire ma non avevo mai trovato una dicitura del genere.
ok come terzo elemento della base prendo $((1),(0),(0))$
quindi ho che
$A=((1,2,x_1),(2,1,x_2),(1,3,x_3))((1,2,1),(1,2,0),(3,1,0))^-1
sarebbe finito così l'esercizio?
ok come terzo elemento della base prendo $((1),(0),(0))$
quindi ho che
$A=((1,2,x_1),(2,1,x_2),(1,3,x_3))((1,2,1),(1,2,0),(3,1,0))^-1
sarebbe finito così l'esercizio?
"Mire_90":
$A=((1,2,x_1),(2,1,x_2),(1,3,x_3))((1,2,1),(1,2,0),(3,1,0))^-1$
Scusate ma non riesco a questo punto a capire il nesso...
a parte che sono stati invertiti un 1 e un 2 nella matrice A...
come fo a dire d'aver trovato l'insieme delle applicazioni lineari quando t'ho trovato la matrice A?
Pensavo di dover trovare il tutto in una forma del tipo:
$f((x_1),(x_2),(x_3))=((#),(#),(#))$
Martino! credo di esserci arrivato al motivo per cui tu mi hai detto della matrice...
Ti indico il mio ragionamento:
Conosco $f((1),(1),(3))=((2),(2),(1))$, $f((2),(2),(1))=((1),(1),(3))$
Posso notare che: $f^2=\iota => (f-\iota)(f+\iota)=0$
Dunque devo trovare tutte le f per cui esiste una base $v_1=((1),(1),(3))$, $v_2=((2),(2),(1))$, $v_3$ di $RR^3$ tale che:
$f(v_1)=v_2$
$f(v_2)=v_1$
$f(v_3)=+-v_3$
Tali $f$ sono desunte parametricamente dalle 2 famiglie seguenti:
Fam.1: ${(f(v_1)=v_2),(f(v_2)=v_1),(f(v_3)=+v_3):}$
Fam.2: ${(f(v_1)=v_2),(f(v_2)=v_1),(f(v_3)=-v_3):}$
fila come ragionamento ora?^^
Ti indico il mio ragionamento:
Conosco $f((1),(1),(3))=((2),(2),(1))$, $f((2),(2),(1))=((1),(1),(3))$
Posso notare che: $f^2=\iota => (f-\iota)(f+\iota)=0$
Dunque devo trovare tutte le f per cui esiste una base $v_1=((1),(1),(3))$, $v_2=((2),(2),(1))$, $v_3$ di $RR^3$ tale che:
$f(v_1)=v_2$
$f(v_2)=v_1$
$f(v_3)=+-v_3$
Tali $f$ sono desunte parametricamente dalle 2 famiglie seguenti:
Fam.1: ${(f(v_1)=v_2),(f(v_2)=v_1),(f(v_3)=+v_3):}$
Fam.2: ${(f(v_1)=v_2),(f(v_2)=v_1),(f(v_3)=-v_3):}$
fila come ragionamento ora?^^
c'è qualcosa che non mi quadra...
te sei arrivato a dire che
$(f-\iota)(f+\iota)=0$
che ragionando in termini di matrici equivale a
$(A-I)(A+I)=0$
ora vorresti dire che
$A=+I$
$A=-I$
ovvero vorresti usare la legge dell'annullamento del prodotto.
L'errore è che la legge dell'annullamento del prodotto non vale per le matrici.
Se un prodotto di matrici è nullo non è detto che uno dei fattori sia nullo.
per esempio
$((1,0,0),(1,0,0),(1,0,0))((0,0,0),(1,1,1),(1,1,1))=0$
te sei arrivato a dire che
$(f-\iota)(f+\iota)=0$
che ragionando in termini di matrici equivale a
$(A-I)(A+I)=0$
ora vorresti dire che
$A=+I$
$A=-I$
ovvero vorresti usare la legge dell'annullamento del prodotto.
L'errore è che la legge dell'annullamento del prodotto non vale per le matrici.
Se un prodotto di matrici è nullo non è detto che uno dei fattori sia nullo.
per esempio
$((1,0,0),(1,0,0),(1,0,0))((0,0,0),(1,1,1),(1,1,1))=0$
No Andrea990, ancora non ci siamo. Anche se $(f-1)(f+1)=0$ questo non significa che ogni vettore sia mandato in $pm$ se stesso (vedi $v_1$ e $v_2$, che vengono scambiati tra loro).
Nella base ${v_1,v_2,v_3}$ la matrice sarà qualcosa del tipo $A=((0,1,a),(1,0,b),(0,0,c))$. Ma tu sai che $A^2=1$.
Nella base ${v_1,v_2,v_3}$ la matrice sarà qualcosa del tipo $A=((0,1,a),(1,0,b),(0,0,c))$. Ma tu sai che $A^2=1$.
Ok... in effetti è giusto come dici te... pensavo di aver trovato una maniera + chiara...
quindi la soluzione dell'esercizio è quella che ha menzionato mire_90?
quindi la soluzione dell'esercizio è quella che ha menzionato mire_90?
No, non mi pare...
"Mire_90":Non capisco come hai costruito la matrice a sinistra e perché la moltiplichi per quella a destra.
quindi ho che
$A=((1,2,x_1),(2,1,x_2),(1,3,x_3))((1,2,1),(1,2,0),(3,1,0))^-1
sarebbe finito così l'esercizio?
...ti ringrazio per la pazienza martino ma ormai che mi ci sono messo mi piacerebbe capire dove stai andando a parare.
Quello che dici tu mi torna
ma ora cosa dovrei fare? svolgermi la moltiplicazione tenedomi i parametri a b e c?
A me viene
$A=((0,1,b+ac),(1,0,a+bc),(0,0,c^2))$
Quello che dici tu mi torna
ma ora cosa dovrei fare? svolgermi la moltiplicazione tenedomi i parametri a b e c?
A me viene
$A=((0,1,b+ac),(1,0,a+bc),(0,0,c^2))$
"Mire_90":Sì quella dev'essere la matrice identica (deduco che hai fatto il quadrato di $A$ e le prime due colonne sono da correggere), quindi $b+ac=a+bc=0$ e $c^2=1$. Se $c=1$ hai $b=-a$, altrimenti $c=-1$ e $b=a$. Questi sono i casi possibili.
A me viene
$A=((0,1,b+ac),(1,0,a+bc),(0,0,c^2))$
si hai ragione...l'avevo fatto giusto il conto ma ho sbagliato a riportarlo. capito
comunque il prodotto che non hai capito da dove veniva deriva dal prodotto della matrice A per la matrice della base.
$A((1,2,1),(1,2,0),(3,1,0))=(A((1),(1),(3)) A((2),(2),(1)) A((1),(0),(0)))=((2,1,x_1),(2,1,x_2),(1,3,x_3))
A questo punto so che la matrice della base in quanto tale è invertibile quindi
$A=((2,1,x_1),(2,1,x_2),(1,3,x_3))((1,2,1),(1,2,0),(3,1,0))^-1
... si ok avevo fatto un errore di calcolo anche qui
scusate davvero, penso che sia la scrittura in codice che mi confonda
capitocomunque il prodotto che non hai capito da dove veniva deriva dal prodotto della matrice A per la matrice della base.
$A((1,2,1),(1,2,0),(3,1,0))=(A((1),(1),(3)) A((2),(2),(1)) A((1),(0),(0)))=((2,1,x_1),(2,1,x_2),(1,3,x_3))
A questo punto so che la matrice della base in quanto tale è invertibile quindi
$A=((2,1,x_1),(2,1,x_2),(1,3,x_3))((1,2,1),(1,2,0),(3,1,0))^-1
... si ok avevo fatto un errore di calcolo anche qui
scusate davvero, penso che sia la scrittura in codice che mi confonda
Mire_90, ancora non capisco cosa hai fatto. Il cambiamento di base non si fa moltiplicando a destra per la matrice della base, si fa coniugando per tale matrice.
non è un cambiamento di base... è un conto da cui mi posso ricavare A
comunque il tuo metodo è molto più semplice
comunque il tuo metodo è molto più semplice
Grazie martino!
Ho capito come si fa!^^
Ho capito come si fa!^^
Ok allora 
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