Trovare riflessione retta data la matrice associata
Ciao a tutti, non riesco a risolvere un esercizio riguardo le riflessioni. L'esercizio è questo:
"Sia $ ( vec(e_1),vec(e_2)) $ la base naturale di \( R^2 \) . Sia \( T :R^2\rightarrow R^2 \) la riflessione rispetto alla retta \( x+4y=0 \) e sia \( S:R^2\rightarrow R^2 \) l’applicazione lineare definita tramite \( S(\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2})=\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2},S(\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2})=\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}. \) Stabilire se \( S^{-1}\circ T\circ S \) è una riflessione o no. In caso di si trovare l’equazione parametrica della retta."
Ecco, sono riuscito a trovare la matrice associata alla riflessione rispetto alla retta data, sono riuscito a trovare la matrice di S e mi sono trovato l'inversa. Poi ho moltiplicato le tre matrici nell'ordine che dice l'esercizio ed ora mi trovo un'altra matrice. Come faccio a capire se è una riflessione rispetto ad una qualche retta?
"Sia $ ( vec(e_1),vec(e_2)) $ la base naturale di \( R^2 \) . Sia \( T :R^2\rightarrow R^2 \) la riflessione rispetto alla retta \( x+4y=0 \) e sia \( S:R^2\rightarrow R^2 \) l’applicazione lineare definita tramite \( S(\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2})=\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2},S(\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2})=\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}. \) Stabilire se \( S^{-1}\circ T\circ S \) è una riflessione o no. In caso di si trovare l’equazione parametrica della retta."
Ecco, sono riuscito a trovare la matrice associata alla riflessione rispetto alla retta data, sono riuscito a trovare la matrice di S e mi sono trovato l'inversa. Poi ho moltiplicato le tre matrici nell'ordine che dice l'esercizio ed ora mi trovo un'altra matrice. Come faccio a capire se è una riflessione rispetto ad una qualche retta?
Risposte
Qual'è il determinante della matrice che hai ottenuto?
Ciao, il determinante mi è uscito -289. Puoi dirmi perché me lo hai chiesto?
Come ti hanno definito le riflessioni?
Il forum permette l'inserimento di formule latex, il loro uso faciliterebbe la lettura e, tra l'altro, non richiede più lavoro di inserire manualmente i caratteri.
Aggiungo alcuni commenti ai miei post precedenti che ero un po' di fretta. La prima cosa che si deve fare quando si risolve un problema è comprendere bene che cosa ci viene chiesto. In questo caso ci viene chiesto di dire se una particolare matrice è una riflessione. È quindi prima di tutto necessario chiedersi che cosa sia una riflessione e quali sono i modi per distinguere una riflessione da un'altra trasformazione. Uno di questi metodi è basato sullo studio del determinante, ma se non l'hai visto non importa.
Credo però che la matrice da te calcolata sia sbagliata. Il determinante infatti non è quello che hai riportato. Mostra i calcoli che hai fatto per arrivare a tale risultato. Nota che \(S\) è la mappa che tiene fissato \(e_1\) e trasforma \(e_2\) in \(-2\,e_2\). L'inversa sarà quindi semplicemente quella che tiene fissato \(e_1\) e trasforma \(e_2\) in \(-e_2/2\).. Come hai definito la riflessione rispetto a quella retta?
Credo però che la matrice da te calcolata sia sbagliata. Il determinante infatti non è quello che hai riportato. Mostra i calcoli che hai fatto per arrivare a tale risultato. Nota che \(S\) è la mappa che tiene fissato \(e_1\) e trasforma \(e_2\) in \(-2\,e_2\). L'inversa sarà quindi semplicemente quella che tiene fissato \(e_1\) e trasforma \(e_2\) in \(-e_2/2\).. Come hai definito la riflessione rispetto a quella retta?
"vict85":
Il forum permette l'inserimento di formule latex, il loro uso faciliterebbe la lettura e, tra l'altro, non richiede più lavoro di inserire manualmente i caratteri.
Grazie, volevo inserire le formule in questo modo, ma non sapevo come fare.
"apatriarca":
Credo però che la matrice da te calcolata sia sbagliata. Il determinante infatti non è quello che hai riportato. Mostra i calcoli che hai fatto per arrivare a tale risultato. Nota che \(S\) è la mappa che tiene fissato \(e_1\) e trasforma \(e_2\) in \(-2\,e_2\). L'inversa sarà quindi semplicemente quella che tiene fissato \(e_1\) e trasforma \(e_2\) in \(-e_2/2\)..
Allora \( S \) mi è uscita \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \), mentre l'inversa \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1/2 \end{pmatrix} \). Non sapevo come calcolarmela in realtà, mi sono arrangiato sfruttando la linearità. In pratica ho risolto il sistema formato da \( \begin{cases} S(\overrightarrow{e_1})+S(\overrightarrow{e_2})=\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2} \\ S(\overrightarrow{e_1})-S(\overrightarrow{e_2})=\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2} \end{cases} \) e alla fine mi è uscito che \( S(\overrightarrow{e_1})=\overrightarrow{e_1} \) e \( S(\overrightarrow{e_2})=-2\overrightarrow{e_2} \) Come si poteva calcolare in altro modo?
"apatriarca":
Come hai definito la riflessione rispetto a quella retta?
Allora, mi sono trovato una base di \( R^2 \) usando il normale \( \overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \) e un vettore parallelo alla retta \( \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix} \) così facendo ho applicato \( T \) su \( \overrightarrow{n} \) e su \( \overrightarrow{v} \) sapendo che il normale veniva mandato a \( -\overrightarrow{n} \) e che \( \overrightarrow{v} \) veniva semplicemente mandato a sé stesso. Quindi ho ottenuto la matrice di \( T \) per la base \( b=<\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}> \) che è \( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) a questo punto mi sono trovato la matrice del cambiamento di base \( ^e_b \) \( 1/17\cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} \) tramite l'inversa di \( ^b_e \) \( \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \) , quindi ho moltiplicato le tre matrici nell'ordine: \( ^b_e [T]^b_b^e_b \) e mi è uscita la matrice \( 1 / 17 \cdot \begin{pmatrix} 15 & -8 \\ -8 & -15 \end{pmatrix} \). Ho moltiplicato poi le matrici \( S^{-1}\circ T\circ S \): \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1/2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 15 & -8 \\ -8 & -15 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \) ed infine ho ottenuto la matrice che dovrebbe essere quella di cui devo capire se è una riflessione o no \( \begin{pmatrix} 15 & 16 \\ 4 & -15 \end{pmatrix} \) , il cui determinante dovrebbe essere \( 15\cdot (-15)-16\cdot 4=-289 \) ... ops! Mi sono accorto solo ora che ho dimenticato di moltiplicare per \( 1/17 \) la matrice finale!
Quindi la matrice dovrebbe essere \( \begin{pmatrix} 15/17 & 16/17 \\ 4/17 & -15/17 \end{pmatrix} \), il determinante quindi è \(\frac {15}{17}\cdot (\frac{-15}{17})-\frac{16}{17}\cdot \frac{4}{17} = -1 \) è corretto?
Non ho controllato tutti i passaggi ma il determinante è questa volta corretto (si poteva dedurre anche senza fare calcoli..). Idee su metodi per sapere se una trasformazione è una riflessione?
"apatriarca":
Non ho controllato tutti i passaggi ma il determinante è questa volta corretto (si poteva dedurre anche senza fare calcoli..). Idee su metodi per sapere se una trasformazione è una riflessione?
È esattamente la domanda che ho fatto nel topic ahah. L'unica cosa che ho provato, è vedere dove vanno a finire \( \overrightarrow{e_1} \) e \( \overrightarrow{e_2} \) ma le colonne della matrice non mi dicono granché...
Ma come ti sono state definite le riflessioni? Il metodo per dimostrarlo dipende dalla teoria a cui devi fare riferimento
Per esempio, se devi far vedere che fissa una retta e inverte i vettori ad essa ortogonali potresti dimostrare che esiste una soluzione di \( S^{-1}\,T\,S\,x = x \) per cui \( S^{-1}\,T\,S\,J\,x = - J\,x \) dove \(J\) è la rotazione di \(\pi/2\) in senso antiorario*.
* È quindi la trasformazione \( (x, y) \mapsto (-y, x) \).
* È quindi la trasformazione \( (x, y) \mapsto (-y, x) \).
Allora, ho provato a cercare una soluzione tale che \( \frac{1}{17}\cdot \begin{pmatrix} 15 & 16 \\ 4 & -15 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix} \) cioè sto cercando il normale della retta della riflessione. Quindi ho risolto \( \begin{cases} 15x+16y=-17x \\ 4x-15y=-17y \end{cases} \), mi esce \( \begin{cases} y=-2x \\ y=-2x \end{cases} \), quindi questo dovrebbe essere il normale che sto cercando... \( \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \) ma se provo a prendere un vettore perpendicolare al normale e lo moltiplico con la matrice non trovo sé stesso \( \frac{1}{17}\cdot \begin{pmatrix} 15 & 16 \\ 4 & -15 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}≠\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) . Ho provato poi a risolvere il sistema \( \begin{cases} 15x+16y=17x\\ 4x-15y=17y \end{cases} \) ed in questo caso mi esce \( \begin{cases} y=\frac{1}{8}x\\ y=\frac{1}{8}x \end{cases} \) , un vettore di direzione della retta dovrebbe essere \( \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} \) ma questo non è perpendicolare al normale che ho trovato prima!! Ne deduco quindi che non è una riflessione?
Sì, non lo è. La trasformazione tiene fissa una retta, ma i vettori perpendicolari ad essa non vengono mandati nel loro opposto.
"apatriarca":
Sì, non lo è. La trasformazione tiene fissa una retta, ma i vettori perpendicolari ad essa non vengono mandati nel loro opposto.
Ottimo! Grazie per il supporto e l'aiuto, l'esercizio è risolto. Con i prossimi esercizi proverò a fare in questo modo, anche se non mi sembra il metodo più efficiente. Il determinante nel mio corso è stato solo accennato, così come le riflessioni. Ci hanno detto che sono soltanto applicazioni lineari e che funzionano come uno "specchio": il normale viene mandato al suo opposto e i vettori di direzione rimangono lì.
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