Trovare punti di intersezione fra due curve
Dovrei trovare i punti di intersezione fra due curve e trovare le relative molteplicità di intersezione.
Le curve sono: $x^2+y^2=z^2$ e $x^2z+2xz^2+z^3-y^4=0$.
Per trovare i punti di intersezione ho pensato di passare in coordinate affini ottenendo quindi le curve:
$x^2+y^2=1$ e $x^2+2x+1-y^3=0$.
Mettendo a sistema queste due curve ottengo un solo punto di intersezione $(0,0)$.
Ora devo controllare che le rette improprie delle due curve non si incontrino fra loro e non incontrino una curva.
Per trovare le rette improprie pongo z uguale a zero e ottengo per la prima curva $<(t, it)>$ e per la seconda $<(s,0)>$. Sono giuste?
Chiaramente queste due rette non si intersecano. Ora devo controllare che non intersechino le curve.
Mettendo a sistema la curva due con la retta impropria uno ottengo $ t^2+2t+1-it^3=0$ che non riesco a risolvere. Mettendo a sistema curva uno e retta impropria due ottengo i punti $(1,0)$ e $(-1,0)$.
È giusto fino a qua il procedimento? Come faccio a risolvere quell'equazione?
Ho qualche dubbio anche sul concetto di molteplicità di intersezione di un punto. Ad esempio per il punto $(0,0)$ io farei le derivate parziali rispetto ad x e ad y della seconda curva e le calcolerei nel punto (0,0), poiché la derivata parziale rispetto ad x mi viene diversa da zero la molteplicità di intersezione è uno. È giusto procedere così? Cioè considerando solo la seconda curva?
Facendo così otterrei per gli altri due punti trovati la molteplicità 1 e la molteplicità due.
Le curve sono: $x^2+y^2=z^2$ e $x^2z+2xz^2+z^3-y^4=0$.
Per trovare i punti di intersezione ho pensato di passare in coordinate affini ottenendo quindi le curve:
$x^2+y^2=1$ e $x^2+2x+1-y^3=0$.
Mettendo a sistema queste due curve ottengo un solo punto di intersezione $(0,0)$.
Ora devo controllare che le rette improprie delle due curve non si incontrino fra loro e non incontrino una curva.
Per trovare le rette improprie pongo z uguale a zero e ottengo per la prima curva $<(t, it)>$ e per la seconda $<(s,0)>$. Sono giuste?
Chiaramente queste due rette non si intersecano. Ora devo controllare che non intersechino le curve.
Mettendo a sistema la curva due con la retta impropria uno ottengo $ t^2+2t+1-it^3=0$ che non riesco a risolvere. Mettendo a sistema curva uno e retta impropria due ottengo i punti $(1,0)$ e $(-1,0)$.
È giusto fino a qua il procedimento? Come faccio a risolvere quell'equazione?
Ho qualche dubbio anche sul concetto di molteplicità di intersezione di un punto. Ad esempio per il punto $(0,0)$ io farei le derivate parziali rispetto ad x e ad y della seconda curva e le calcolerei nel punto (0,0), poiché la derivata parziale rispetto ad x mi viene diversa da zero la molteplicità di intersezione è uno. È giusto procedere così? Cioè considerando solo la seconda curva?
Facendo così otterrei per gli altri due punti trovati la molteplicità 1 e la molteplicità due.
Risposte
Non mi pare proprio che vengano quei punti. Con il passaggio a coordinate affini (a proposito, la seconda equazione è corretta? Perché vedo prima $y^4$ e poi $y^3$, ma se fosse come l'hai scritta l'equazione non è omogenea e quindi salta tutto) ottieni le equazioni
$$X^2+Y^2=1,\qquad X^2+2X+1-Y^3=0$$
da cui $Y^2=1-X^2$ e quindi
$$Y^3=(X+1)^2\ \Rightarrow\ Y^6=(X+1)^4\ \Rightarrow\ (1-X^2)^3=(1+X)^4\ \Rightarrow\ (1-X)^3(1+X)^3=(1+X)^4$$
Ora, una soluzione è $X=-1$ da cui $Y=0$. Dividendo per $(1+X)^3$ si ha l'equazione
$$1-3X+3X^2-X^3=1+X\ \Rightarrow\ X^3-3X^2+4X=0\ \Rightarrow\ X(X^2-3X+4)=0$$
le cui soluzioni sono $X=0, X=3/2\pm i\sqrt{7}/2$.
$$X^2+Y^2=1,\qquad X^2+2X+1-Y^3=0$$
da cui $Y^2=1-X^2$ e quindi
$$Y^3=(X+1)^2\ \Rightarrow\ Y^6=(X+1)^4\ \Rightarrow\ (1-X^2)^3=(1+X)^4\ \Rightarrow\ (1-X)^3(1+X)^3=(1+X)^4$$
Ora, una soluzione è $X=-1$ da cui $Y=0$. Dividendo per $(1+X)^3$ si ha l'equazione
$$1-3X+3X^2-X^3=1+X\ \Rightarrow\ X^3-3X^2+4X=0\ \Rightarrow\ X(X^2-3X+4)=0$$
le cui soluzioni sono $X=0, X=3/2\pm i\sqrt{7}/2$.
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