Trovare piano contenete due rette date
Ciao a tutti , ho un dubbio su un esercizio dto che l'ho risolto in due modi e trovo due risultati diversi.
Per quali valori di k le rette s ed r sono complanari? Trovare il piano che le contiene.
r: x=y=z
s:
x=1+kt
y=2t
z=3-t
Scrivo la retta r come r: intersezione dei piani x=y e x=z da cui ricavo:
r:
x=t
y=t
z=t
Vr:(1,1,1) e Vs:(k,2,-1)
Non esiste nessun k per cui Vr è proporzionale a Vs quindi non sono parallele.
Sostituisco in r le equazioni parametriche di s ed ottengo:
1+kt -2t =0
1+kt-(3-t)=0
da cui trovo che si intersecano per k=1.
Sostituisco in r le equazioni parametriche di s per k=1 e trovo il punto di intersezione p(2,2,2)
Un generico punto di r è Q(0,0,0), tutti i piani passanti per q hanno equazione a(x-0)+b(y-0)+c(z-0)=0 da cui ax+by+cz=0
Ricavo i parametri direttori del piano dal prodotto vettoriali dei vettori di r e s e trovo (a,b,c)=(-3,2,1) da cui il piano:
-3x+2y+z=0
Secondo modo:
(chiamo h il parametro di s)
t=1+kh
t=2h
t=3-h
da cui ricavo h=1 e k=1. Il punto di intersezione lo trovo sostituendo h=1 in s da cui P(2,2,2) oppure se h=1 allora t=2 e sostituendo t in r ottengo ancora p(2,2,2)
Prendo l'equazione del fascio di piani che ha per sostegno la retta r cioè n(x-y)+m(x-z)=0 e impongo il passaggio per un generico punto di r ad esempio (1,0,3) da cui ricavo n=2m e se impongo m=1 allora n=2.
Lequazione del piano che le contiene entrambe è: (x-y)+2(x-z)=0 cioè 3x-y-2z=0
I due piani dovrebbere essere uguali a meno del segno ma ottengo nel primo caso -3x+2y+z=0 e nel secondo caso 3x-y-2z=0 perche?
Ho ricontrollato i conti ma non trovo l'errore...
Per quali valori di k le rette s ed r sono complanari? Trovare il piano che le contiene.
r: x=y=z
s:
x=1+kt
y=2t
z=3-t
Scrivo la retta r come r: intersezione dei piani x=y e x=z da cui ricavo:
r:
x=t
y=t
z=t
Vr:(1,1,1) e Vs:(k,2,-1)
Non esiste nessun k per cui Vr è proporzionale a Vs quindi non sono parallele.
Sostituisco in r le equazioni parametriche di s ed ottengo:
1+kt -2t =0
1+kt-(3-t)=0
da cui trovo che si intersecano per k=1.
Sostituisco in r le equazioni parametriche di s per k=1 e trovo il punto di intersezione p(2,2,2)
Un generico punto di r è Q(0,0,0), tutti i piani passanti per q hanno equazione a(x-0)+b(y-0)+c(z-0)=0 da cui ax+by+cz=0
Ricavo i parametri direttori del piano dal prodotto vettoriali dei vettori di r e s e trovo (a,b,c)=(-3,2,1) da cui il piano:
-3x+2y+z=0
Secondo modo:
(chiamo h il parametro di s)
t=1+kh
t=2h
t=3-h
da cui ricavo h=1 e k=1. Il punto di intersezione lo trovo sostituendo h=1 in s da cui P(2,2,2) oppure se h=1 allora t=2 e sostituendo t in r ottengo ancora p(2,2,2)
Prendo l'equazione del fascio di piani che ha per sostegno la retta r cioè n(x-y)+m(x-z)=0 e impongo il passaggio per un generico punto di r ad esempio (1,0,3) da cui ricavo n=2m e se impongo m=1 allora n=2.
Lequazione del piano che le contiene entrambe è: (x-y)+2(x-z)=0 cioè 3x-y-2z=0
I due piani dovrebbere essere uguali a meno del segno ma ottengo nel primo caso -3x+2y+z=0 e nel secondo caso 3x-y-2z=0 perche?
Ho ricontrollato i conti ma non trovo l'errore...
Risposte
è corretto il risultato ottenuto col primo metodo.
l'errore che hai commesso nel 2° metodo è stato sostituire i valori trovati per $m$ e $n$ (li hai invertiti).
l'esercizio poteva anche essere risolto con un 3° metodo, cioe con l'uso del prodotto misto.
in generale, date 2 rette $r$ e $s$ aventi come parametri direttori rispettivamente $r[r_1,r_2,r_3]$ e $s[s_1,s_2,s_3]$ si prendano un punto qualsiasi $R in r$ di coordinate $R(X_R,Y_R,Z_R)$ e un punto $S in s$ di coordinate $S(X_S,Y_S,Z_S)$
i parametri direttori di RS sara $RS[X_S-X_R,Y_S-Y_R,Z_S-Z_R]$
le 2 rette $r$ e $s$ sono complanari sse $|(X_S-X_R,Y_S-Y_R,Z_S-Z_R),(r_1,r_2,r_3),(s_1,s_2,s_3)|=0$
nel caso specifico del tuo esercizio i parametri direttori di $r$ e $s$ sono rispettivamente:
$r[1,1,1]$
$s[k,2,-1]$
prendiamo un punto $R in r$ di coordinate $R(0,0,0)$ e un punto $S in s$ di coordinate $S(1,0,3)$
allora basta imporre che sia:
$|(1,0,3),(1,1,1),(k,2,-1)|=0 => k=1$
per trovare il piano $\pi$ tale che $r in \pi$ e $s in \pi$ basta imporre che la 'direzione' del piano $\pi$ sia $\bot$ a quelle di $r$ e $s$
il piano $\pi$ avra equazione: $|(1,1),(2,-1)|x-|(1,1),(1,-1)|y+|(1,1),(1,2)|z+\delta=0 => 3x-2y-z+\delta=0$
per determinare $\delta$ basta imporre il passaggio per un punto di $r$ (o di $s$), per comodita scelgo $R in r$ e si ottiene $\delta=0$
il piano richiesto sara quindi $\pi : 3x-2y-z=0$
l'errore che hai commesso nel 2° metodo è stato sostituire i valori trovati per $m$ e $n$ (li hai invertiti).
l'esercizio poteva anche essere risolto con un 3° metodo, cioe con l'uso del prodotto misto.
in generale, date 2 rette $r$ e $s$ aventi come parametri direttori rispettivamente $r[r_1,r_2,r_3]$ e $s[s_1,s_2,s_3]$ si prendano un punto qualsiasi $R in r$ di coordinate $R(X_R,Y_R,Z_R)$ e un punto $S in s$ di coordinate $S(X_S,Y_S,Z_S)$
i parametri direttori di RS sara $RS[X_S-X_R,Y_S-Y_R,Z_S-Z_R]$
le 2 rette $r$ e $s$ sono complanari sse $|(X_S-X_R,Y_S-Y_R,Z_S-Z_R),(r_1,r_2,r_3),(s_1,s_2,s_3)|=0$
nel caso specifico del tuo esercizio i parametri direttori di $r$ e $s$ sono rispettivamente:
$r[1,1,1]$
$s[k,2,-1]$
prendiamo un punto $R in r$ di coordinate $R(0,0,0)$ e un punto $S in s$ di coordinate $S(1,0,3)$
allora basta imporre che sia:
$|(1,0,3),(1,1,1),(k,2,-1)|=0 => k=1$
per trovare il piano $\pi$ tale che $r in \pi$ e $s in \pi$ basta imporre che la 'direzione' del piano $\pi$ sia $\bot$ a quelle di $r$ e $s$
il piano $\pi$ avra equazione: $|(1,1),(2,-1)|x-|(1,1),(1,-1)|y+|(1,1),(1,2)|z+\delta=0 => 3x-2y-z+\delta=0$
per determinare $\delta$ basta imporre il passaggio per un punto di $r$ (o di $s$), per comodita scelgo $R in r$ e si ottiene $\delta=0$
il piano richiesto sara quindi $\pi : 3x-2y-z=0$
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