Trovare per quali valori di un parametro una matrice è diagonalizzabile
Ciao a tutti!
Sono un po' di ore che provo a svolgere questo esercizio di algebra lineare su autovettori e autovalori di una matrice.
Il testo è il seguente.
Si consideri la matrice \( A=\begin{pmatrix} 2+k & 0 & -k \\ k & 3 & -1-k \\ k & -1 & 3-k \end{pmatrix} \).
Determinare per quali valori di \( k \) la matrice è diagonalizzabile e, per tali valori, trovare una base di \( \mathbb{R}^3 \) costituita da autovettori di \( A \).
Il primo passo per capire se una matrice è diagonalizzabile è quello di trovare gli autovalori della matrice e gli autospazi relativi a ognuno di questi autovalori. Fatto ciò se la dimensione di tali autospazi coincide con la molteplicità dei rispettivi autovalori e se la dimensione dello spazio vettoriale (in questo caso \( \mathbb{R}^3 \)) coincide con la somma delle molteplicità degli autovalori allora la matrice è diagonalizzabile.
Dunque per prima cosa calcolo il polinomio caratteristico \( p(\lambda )= det\begin{pmatrix} 2+k-\lambda & 0 & -k \\ k & 3-\lambda & -1-k \\ k & -1 & 3-k-\lambda \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} 2+2k-\lambda & 0 & -k \\ 0 & -1 & 2-\lambda \\ 0 & -4+\lambda & 0 \end{pmatrix}=-(2+2k-\lambda)(2-\lambda)(-4+\lambda) \).
Per trovare gli autovalori pongo il polinomio uguale a zero, ovvero \( p(\lambda )= 0\Leftrightarrow (2+2k-\lambda)(2-\lambda)(-4+\lambda)=0 \) da cui \( \lambda=2+2k\vee\lambda=2\vee\lambda=4 \). Tutti questi autovalori hanno molteplicità uguale a uno.
Non riesco a capire se l'impostazione del mio procedimento sia giusta perchè da qui in poi non riesco a proseguire per trovare i valori di \( k \).
Sono un po' di ore che provo a svolgere questo esercizio di algebra lineare su autovettori e autovalori di una matrice.
Il testo è il seguente.
Si consideri la matrice \( A=\begin{pmatrix} 2+k & 0 & -k \\ k & 3 & -1-k \\ k & -1 & 3-k \end{pmatrix} \).
Determinare per quali valori di \( k \) la matrice è diagonalizzabile e, per tali valori, trovare una base di \( \mathbb{R}^3 \) costituita da autovettori di \( A \).
Il primo passo per capire se una matrice è diagonalizzabile è quello di trovare gli autovalori della matrice e gli autospazi relativi a ognuno di questi autovalori. Fatto ciò se la dimensione di tali autospazi coincide con la molteplicità dei rispettivi autovalori e se la dimensione dello spazio vettoriale (in questo caso \( \mathbb{R}^3 \)) coincide con la somma delle molteplicità degli autovalori allora la matrice è diagonalizzabile.
Dunque per prima cosa calcolo il polinomio caratteristico \( p(\lambda )= det\begin{pmatrix} 2+k-\lambda & 0 & -k \\ k & 3-\lambda & -1-k \\ k & -1 & 3-k-\lambda \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} 2+2k-\lambda & 0 & -k \\ 0 & -1 & 2-\lambda \\ 0 & -4+\lambda & 0 \end{pmatrix}=-(2+2k-\lambda)(2-\lambda)(-4+\lambda) \).
Per trovare gli autovalori pongo il polinomio uguale a zero, ovvero \( p(\lambda )= 0\Leftrightarrow (2+2k-\lambda)(2-\lambda)(-4+\lambda)=0 \) da cui \( \lambda=2+2k\vee\lambda=2\vee\lambda=4 \). Tutti questi autovalori hanno molteplicità uguale a uno.
Non riesco a capire se l'impostazione del mio procedimento sia giusta perchè da qui in poi non riesco a proseguire per trovare i valori di \( k \).
Risposte
"maxfed":
Per trovare gli autovalori pongo il polinomio nullo uguale a zero, ovvero \( p(\lambda )= 0\Leftrightarrow (2+2k-\lambda)(2-\lambda)(-4+\lambda)=0 \) da cui \( \lambda=2+2k\vee\lambda=2\vee\lambda=4 \).
Non ho fatto i conti ed uso i tuoi.
"maxfed":
Tutti questi autovalori hanno molteplicità uguale a uno.
Sicuro?
Se $k=0$ allora gli autovalori sono $lambda=2$, $lambda=2$ e $lambda=4$
Se $k=1$ allora gli autovalori sono $lambda=2$, $lambda=4$ e $lambda=4$
Di queste due casistiche dovrai analizzare le molteplicità geometriche...e se sono ok, allora dovrai trovare anche gli autovettori.
Per il resto, se $k!=0,1$ allora hai tre autovalori reali e distinti per cui è sicuramente diagonalizzabile (e trovando i kernel dei vari $A-lambdaI$ otterrai i rispettivi autovettori in funzione di k).
Secondo me il polinomio caratteristico non dipende da $k$
ed e' uguale a $(x-2)^2(x-4)$. Il vettore $(1,1,1)$ e'
sempre autovettore di autovalore $\lambda=2$.
Solo se $k=0$, l'autospazio ha dimensione $2$ e la matrice
e' diagonalizzabile. Infatti, in quel caso anche $(1,0,0)$ e'
autovettore.
ed e' uguale a $(x-2)^2(x-4)$. Il vettore $(1,1,1)$ e'
sempre autovettore di autovalore $\lambda=2$.
Solo se $k=0$, l'autospazio ha dimensione $2$ e la matrice
e' diagonalizzabile. Infatti, in quel caso anche $(1,0,0)$ e'
autovettore.
"Bokonon":
[quote="maxfed"]
Per trovare gli autovalori pongo il polinomio nullo uguale a zero, ovvero \( p(\lambda )= 0\Leftrightarrow (2+2k-\lambda)(2-\lambda)(-4+\lambda)=0 \) da cui \( \lambda=2+2k\vee\lambda=2\vee\lambda=4 \).
Non ho fatto i conti ed uso i tuoi.
"maxfed":
Tutti questi autovalori hanno molteplicità uguale a uno.
Sicuro?
Se $ k=0 $ allora gli autovalori sono $ lambda=2 $, $ lambda=2 $ e $ lambda=4 $
Se $ k=1 $ allora gli autovalori sono $ lambda=2 $, $ lambda=4 $ e $ lambda=4 $
Di queste due casistiche dovrai analizzare le molteplicità geometriche...e se sono ok, allora dovrai trovare anche gli autovettori.
Per il resto, se $ k!=0,1 $ allora hai tre autovalori reali e distinti per cui è sicuramente diagonalizzabile (e trovando i kernel dei vari $ A-lambdaI $ otterrai i rispettivi autovettori in funzione di k).[/quote]
Grazie, non avevo proprio capito l'approccio per affrontare il problema.
"Stickelberger":
Secondo me il polinomio caratteristico non dipende da $ k $
ed e' uguale a $ (x-2)^2(x-4) $.
Esatto, rifacendo per l'ennesima volta l'esercizio mi sono accorto che il polinomio caratteristico poteva essere ulteriormente semplificato: \( det\begin{pmatrix} 2+k-\lambda & 0 & -k \\ k & 3-\lambda & -1-k \\ k & -1 & 3-k-\lambda \end{pmatrix}=det\begin{pmatrix} k & 0 & 2-\lambda \\ \lambda-2 & -1 & 0 \\ 0 & \lambda-4 & 0 \end{pmatrix}=(\lambda-2)(2-\lambda)(\lambda-1) \) .
Dunque \( p(\lambda)=0\Leftrightarrow (\lambda-2)(2-\lambda)(\lambda-1)=0\Leftrightarrow \lambda=2 \,\,\,\,\mu(2)=2\,\,\,\,\vee \,\,\,\,\lambda=4\,\,\,\,\mu(4)=1 \).
Dunque si nota che gli autovalori non dipendono da \( k \), ma solo la diagonalizzazione.
Ora provo a calcolare l'autospazio \( V_2(A) \) (che dipenderà da \(k\).
\( \begin{pmatrix} k & 0 & -k \\ k & 1 & -1-k \\ k & -1 & 1-k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} k & 0 & -k \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases} kx_1-kx_3=0 \\ x_2-x_3=0 \end{cases} \)
Da qui i casi sono due.
Se \( k\neq 0 \) allora \( \begin{cases} x_1=x_3 \\ x_2=x_3 \end{cases} \) e l'insieme delle soluzioni dipende da un solo parametro libero: \( \Sigma =\{(x_3,x_3,x_3)|x_3\in \mathbb{R}\}=<(1,1,1)>=V_2(A) \). Ma in questo caso \( dimV_2(A)=1\neq \mu(2) \) e dunque la matrice sicuramente non è diagonalizzabile per \( k\neq 0 \).
Se \( k=0 \) invece il sistema si riduce all'unica equazione \( x_2-x_3=0\Rightarrow x_2=x_3 \) la cui soluzione avrà due parametri liberi: \( \Sigma =\{(x_1,x_3,x_3)|x_1,x_3\in \mathbb{R}\}=<(1,0,0),(0,1,1)>=V_2(A) \). In questo caso si ha \( dimV_2(A)=2=\mu(2) \). Tale autospazio ha base \( B_1=\{(1,0,0),(0,1,1)\} \).
Ora calcolo \( V_4(A) \) con \( k=0 \): \( \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases} x_1=0 \\ x_2+x_3=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x_1=0 \\ x_2=-x_3 \end{cases} \).
L'insieme delle soluzioni è \( \Sigma=\{(0,-x_3,x_3)|x_3\in \mathbb{R}\}=<(0,-1,1)>=V_4(A) \). Infine \( dimV_4(A)=1=\mu(4) \) e \( B_2=\{(0,-1,1)\} \) è base di \( V_4(A) \). Dunque la matrice è diagonalizzabile se \( k=0 \) e la base di autovettori in \( \mathbb{R}^3 \) è \( B=B_1\cup B_2=\{(1,0,0),(0,1,1),(0,-1,1)\} \).
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