Trovare nucleo e immagine conoscendo la matrice associata a un'applicazione lineare
Buongiorno a tutti, sono un nuovo iscritto di questo forum!
E' da un'ora che provo a svolgere un esercizio di algebra lineare assegnatomi dal mio Prof, ma non riesco a venirne fuori. Il testo dell'esercizio è il seguente:
Sia \( f: R^4\longrightarrow R^3 \) l'applicazione lineare la cui matrice associata, rispetto alla base canonica, è la matrice
\( A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & -6 & -1 & 2 \end{pmatrix} \).
Determinare \( Kerf \) e \( Imf \).
Questo problema ha altre richieste successive che ora non indico perché sono bloccato alla prima, ovvero trovare nucleo e immagine della funzione.
Ho provato trovare il nucleo in diversi modi. Ricordando che in questo caso \( Kerf=\{(a,b,c,d)\in R^4\mid f(a,b,c,d)=(0,0,0)\in R^3\} \), devo trovare le quaterne la cui immagine è la terna nulla. Quindi imporrei la condizione \( f(a,b,c,d)=(0,0,0) \) per trovare così \( a,b,c,d \). Tuttavia non riesco a capire come fare non essendo nota la legge della funzione. Probabilmente bisogna sfruttare la matrice associata ma, nonostante abbia riletto numerose volte gli appunti, non riesco a capire come utilizzarla.
Grazie per l'attenzione!
E' da un'ora che provo a svolgere un esercizio di algebra lineare assegnatomi dal mio Prof, ma non riesco a venirne fuori. Il testo dell'esercizio è il seguente:
Sia \( f: R^4\longrightarrow R^3 \) l'applicazione lineare la cui matrice associata, rispetto alla base canonica, è la matrice
\( A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & -6 & -1 & 2 \end{pmatrix} \).
Determinare \( Kerf \) e \( Imf \).
Questo problema ha altre richieste successive che ora non indico perché sono bloccato alla prima, ovvero trovare nucleo e immagine della funzione.
Ho provato trovare il nucleo in diversi modi. Ricordando che in questo caso \( Kerf=\{(a,b,c,d)\in R^4\mid f(a,b,c,d)=(0,0,0)\in R^3\} \), devo trovare le quaterne la cui immagine è la terna nulla. Quindi imporrei la condizione \( f(a,b,c,d)=(0,0,0) \) per trovare così \( a,b,c,d \). Tuttavia non riesco a capire come fare non essendo nota la legge della funzione. Probabilmente bisogna sfruttare la matrice associata ma, nonostante abbia riletto numerose volte gli appunti, non riesco a capire come utilizzarla.
Grazie per l'attenzione!
Risposte
Beh, leggili un’altra volta…
Com’è definita la matrice associata[nota]L’uso dell’articolo determinativo è improprio e mi fa pensare che tu lavori solo con le basi canoniche…[/nota] ad un’applicazione lineare?
Come puoi ricavare il valore di $f(a,b,c,d)$ sfruttando la matrice e le basi canoniche?
Com’è definita la matrice associata[nota]L’uso dell’articolo determinativo è improprio e mi fa pensare che tu lavori solo con le basi canoniche…[/nota] ad un’applicazione lineare?
Come puoi ricavare il valore di $f(a,b,c,d)$ sfruttando la matrice e le basi canoniche?
"gugo82":
Beh, leggili un’altra volta…
Com’è definita la matrice associata[nota]L’uso dell’articolo determinativo è improprio e mi fa pensare che tu lavori solo con le basi canoniche…[/nota] ad un’applicazione lineare?
Come puoi ricavare il valore di $f(a,b,c,d)$ sfruttando la matrice e le basi canoniche?
Grazie per la risposta.
Se ti riferisci all'articolo determinativo presente nel titolo del topic allora hai ragione, è stato un mio errore e avrei dovuto scrivere "Trovare nucleo e immagine conoscendo una matrice associata a un'applicazione lineare" visto che le matrici associate a un'applicazione lineare sono infinite.
Io solitamente non utilizzo a prescindere le basi canoniche, dipende dalle specifiche del problema. In questo caso il testo dell'esercizio mi fornisce la matrice associata alla funzione rispetto alla base canonica quindi presumo che io debba per forza lavorare con la base canonica.
I valori di \( f(a,b,c,d) \) se non erro sono i seguenti:
\( f(1,0,0,0)=(1,1,1) \)
\( f(0,1,0,0)=(-2,0,-6) \)
\( f(0,0,1,0)=(1,2,-1) \)
\( f(0,0,0,1)=(0,-1,2) \)
Questo accade perché avendo considerato la base canonica i vettori colonna della matrice associata sono sia le coordinate delle immagini dei vettori \( (1,0,0,0) \), \( (0,1,0,0) \), \( (0,0,1,0) \), \( (0,0,0,1) \) rispetto alla base del codominio \( \mathbb{R}^3 \), sia le immagini stesse.
Tuttavia non riesco a capire come ricavare \( Kerf \) con queste informazioni.
Beh, allora hai finito.
Visto che $(a,b,c,d) = a (1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$ e dato che $f$ è lineare, hai $f(a,b,c,d) = a f(1,0,0,0)+b f(0,1,0,0)+ c f(0,0,1,0)+ d f(0,0,0,1)$ ossia $f(a,b,c,d) = a(1,1,1)+ b(-2,0,-6)+ c(1,2,-1) + d(0,-1,2)$; dunque:
\[
f(a,b,c,d) = (a -2b +c, a + 2c - d, a -6b - c + 2d)\;.
\]
Con un semplice calcolo puoi renderti conto che lo stesso risultato si ottiene prendendo il prodotto riga-colonna $A*((a),(b),(c),(d))$ in cui $A=((1, -2, 2, 0), (1, 0, 2, -1), (1, -6, -1, 2))$ è la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi canoniche in dominio e codominio.
In generale, la legge di assegnazione di $f$ rispetto alla base scelta nel codominio si ottiene mediante la relazione $f(x) = A*mathbf(x)^T$ in cui $A$ è la matrice associata ad $f$ rispetto alla coppia di basi scelte ed $mathbf(x)$ è il vettore delle coordinate del vettore $x$ rispetto alla base scelta nel dominio.
Chiarito ciò, il nucleo $text(Ker)(f)$ coincide con l’insieme delle soluzioni dell’equazione $f(a,b,c,d) = (0,0,0)$, i.e. con le soluzioni del sistema lineare $\{(a -2b +c = 0), (a + 2c - d = 0), (a -6b - c + 2d = 0):}$, che dovresti saper risolvere (ed ha dimensione maggiore od uguale ad $1$ per ovvi motivi dimensionali).
L’immagine $text(Im)(f)$, invece, non è altro che il sottospazio di $RR^3$ generato dalle colonne di $A$, ossia $text(Im)(f) = text(span)(\{ (1,1,1), (-2,0,-6), (1,2,-1), (0,-1,2)\}$; per trovarne dimensione e base ti basta usare il teorema della dimensione o calcolare il rango $text(rank)(A)$ (è lo stesso: perché?) ed individuare le colonne di $A$ che coprono un minore non nullo avente ordine $dim text(Im)(f) = text(rank)(A)$, oppure ridurre a scalini e prendere $text(rank)(A)$ colonne non nulle.
Visto che $(a,b,c,d) = a (1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0,0,0,1)$ e dato che $f$ è lineare, hai $f(a,b,c,d) = a f(1,0,0,0)+b f(0,1,0,0)+ c f(0,0,1,0)+ d f(0,0,0,1)$ ossia $f(a,b,c,d) = a(1,1,1)+ b(-2,0,-6)+ c(1,2,-1) + d(0,-1,2)$; dunque:
\[
f(a,b,c,d) = (a -2b +c, a + 2c - d, a -6b - c + 2d)\;.
\]
Con un semplice calcolo puoi renderti conto che lo stesso risultato si ottiene prendendo il prodotto riga-colonna $A*((a),(b),(c),(d))$ in cui $A=((1, -2, 2, 0), (1, 0, 2, -1), (1, -6, -1, 2))$ è la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi canoniche in dominio e codominio.
In generale, la legge di assegnazione di $f$ rispetto alla base scelta nel codominio si ottiene mediante la relazione $f(x) = A*mathbf(x)^T$ in cui $A$ è la matrice associata ad $f$ rispetto alla coppia di basi scelte ed $mathbf(x)$ è il vettore delle coordinate del vettore $x$ rispetto alla base scelta nel dominio.
Chiarito ciò, il nucleo $text(Ker)(f)$ coincide con l’insieme delle soluzioni dell’equazione $f(a,b,c,d) = (0,0,0)$, i.e. con le soluzioni del sistema lineare $\{(a -2b +c = 0), (a + 2c - d = 0), (a -6b - c + 2d = 0):}$, che dovresti saper risolvere (ed ha dimensione maggiore od uguale ad $1$ per ovvi motivi dimensionali).
L’immagine $text(Im)(f)$, invece, non è altro che il sottospazio di $RR^3$ generato dalle colonne di $A$, ossia $text(Im)(f) = text(span)(\{ (1,1,1), (-2,0,-6), (1,2,-1), (0,-1,2)\}$; per trovarne dimensione e base ti basta usare il teorema della dimensione o calcolare il rango $text(rank)(A)$ (è lo stesso: perché?) ed individuare le colonne di $A$ che coprono un minore non nullo avente ordine $dim text(Im)(f) = text(rank)(A)$, oppure ridurre a scalini e prendere $text(rank)(A)$ colonne non nulle.
Grazie mille per la risposta esaustiva e chiara, non mi era venuto in mente di utilizzare la definizione di applicazione lineare per ricavare la legge di \( f(x) \).
Il mio Prof non ha mai introdotto questa formula, ma ritengo che sia molto utile negli esercizi.
Dopo aver svolto i calcoli ho ottenuto questo insieme delle soluzioni: \( \Sigma =\{( 2b-c, b, c, 2b+c )| b, c \in \mathbb{R}\}= span(\{(2,1,0,2),(-1,0,1,1)\})=Kerf \) che ha dimensione \( dimKerf=2 \).
Questo fatto deriva dalla proprietà delle applicazioni lineari per la quale se \( f:V\rightarrow V' \) ed \( S\subseteq V \) allora \( S=span(\{v_1,v_2,...,v_n\})\Rightarrow f(S)=span(\{f(v_1),f(v_2),...,f(v_n)\})\subseteq V'\) ? Altrimenti non riesco a capire come mai l'immagine sia uguale a quello spazio finitamente generato.
Per il teorema della dimensione \( dim\mathbb{R}^4=dimKerf+dimImf \) da cui \( dimImf=dim\mathbb{R}^4-dimKerf=4-2=2 \).
Ugualmente se provo a calcolare il rango della matrice \( A \) con il criterio dei minori ottengo \( rank(A)=2=dimImf \). L'uguaglianza tra il rango della matrice e la dimensione dell'immagine si potrebbe spiegare con la definizione di rango di una matrice, ovvero la dimensione dello spazio generato dai vettori riga (o colonna) di \( A \). Tale dimensione coincide con quella dell'immagine perché $text(Im)(f) = text(span)(\{ (1,1,1), (-2,0,-6), (1,2,-1), (0,-1,2)\})$.
"gugo82":
In generale, la legge di assegnazione di $f$ rispetto alla base scelta nel codominio si ottiene mediante la relazione $f(x) = A*mathbf(x)^T$ in cui $A$ è la matrice associata ad $f$ rispetto alla coppia di basi scelte ed $mathbf(x)$ è il vettore delle coordinate del vettore $x$ rispetto alla base scelta nel dominio.
Il mio Prof non ha mai introdotto questa formula, ma ritengo che sia molto utile negli esercizi.
"gugo82":
Chiarito ciò, il nucleo $text(Ker)(f)$ coincide con l’insieme delle soluzioni dell’equazione $f(a,b,c,d) = (0,0,0)$, i.e. con le soluzioni del sistema lineare $\{(a -2b +c = 0), (a + 2c - d = 0), (a -6b - c + 2d = 0):}$, che dovresti saper risolvere (ed ha dimensione maggiore od uguale ad $1$ per ovvi motivi dimensionali).
Dopo aver svolto i calcoli ho ottenuto questo insieme delle soluzioni: \( \Sigma =\{( 2b-c, b, c, 2b+c )| b, c \in \mathbb{R}\}= span(\{(2,1,0,2),(-1,0,1,1)\})=Kerf \) che ha dimensione \( dimKerf=2 \).
"gugo82":
L’immagine $text(Im)(f)$, invece, non è altro che il sottospazio di $RR^3$ generato dalle colonne di $A$, ossia $text(Im)(f) = text(span)(\{ (1,1,1), (-2,0,-6), (1,2,-1), (0,-1,2)\}$;
Questo fatto deriva dalla proprietà delle applicazioni lineari per la quale se \( f:V\rightarrow V' \) ed \( S\subseteq V \) allora \( S=span(\{v_1,v_2,...,v_n\})\Rightarrow f(S)=span(\{f(v_1),f(v_2),...,f(v_n)\})\subseteq V'\) ? Altrimenti non riesco a capire come mai l'immagine sia uguale a quello spazio finitamente generato.
"gugo82":
per trovarne dimensione e base ti basta usare il teorema della dimensione o calcolare il rango $text(rank)(A)$ (è lo stesso: perché?) ed individuare le colonne di $A$ che coprono un minore non nullo avente ordine $dim text(Im)(f) = text(rank)(A)$, oppure ridurre a scalini e prendere $text(rank)(A)$ colonne non nulle.
Per il teorema della dimensione \( dim\mathbb{R}^4=dimKerf+dimImf \) da cui \( dimImf=dim\mathbb{R}^4-dimKerf=4-2=2 \).
Ugualmente se provo a calcolare il rango della matrice \( A \) con il criterio dei minori ottengo \( rank(A)=2=dimImf \). L'uguaglianza tra il rango della matrice e la dimensione dell'immagine si potrebbe spiegare con la definizione di rango di una matrice, ovvero la dimensione dello spazio generato dai vettori riga (o colonna) di \( A \). Tale dimensione coincide con quella dell'immagine perché $text(Im)(f) = text(span)(\{ (1,1,1), (-2,0,-6), (1,2,-1), (0,-1,2)\})$.
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