Trovare matrice rispetto base canonica data...

[mictrt]

sia F:$R^(4)-> R^(4) $

lineare e tale che

F( ( 1 0 0 1 ) )=( 1 1 1 1)

F( (0 1 1 0 ) )=( 0 2 2 0 )


F( (0 0 2 1 ) )=( 0 0 1 0 )

F( ( 0 0 1 1) )=( 0 1 1 0 )

trovare matrice di f rispetto a base canonica e dire se tale matrice è diagonalizzabile e se lo è trovare matrice P che la diagonalizza....

la matrice mi viene

$ ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( -1 , 3 , -1 , 2 ),( -2 , 2 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , -1 ) ) $

è giusta?

[Quinzio]

Direi di no.

[mictrt]

ok e come sarebbe quella corretta?

io ho fatto...
f1=f1-2f4-f3
f2=2-f4-(f3-2f4)
f3=f3-f4
f4=f4-f3

[mictrt]

ok f3 e f4 sono corretti dunque...ricalcolo f2 e sono a posto...

[mictrt]

$ ( ( 1 ,0,0,0),( -1,1,-1,2),( 0,0,0,0),(1,0,0,-1 ) ) $

ho provata a ridurla ma secondo me non è diagonalizzabile

[mictrt]

sono quei 0 alla terza riga che mi stonano...idee?

[mictrt]

$ ( ( 1 ,0,0,0),( -1,1,-1,2),( 0,0,0,1),(1,0,0,0 ) ) $

il determinante è 0

mi calcolo il polinomio caratteristico (per farlo non posso ridurre la matrice giusto?)

trovo gli autovalori
trovo le basi degli autospazi
scrivo la matrice M e la sua inversa M^-1
matrice d =M^-1AM

giusto?

[Sk_Anonymous]

Innanzitutto si osserva che la $ F $ data è unica, dato che i quattro vettori di cui sono assegnate le immagini sono linearmente indipendenti e quindi formano una base del dominio di $ F $.

Applicando la proprietà di linearità di $ F $ otteniamo

$ F(1,0,0,0) = $ v. post di Sergio.

$ F(0,1,0,0) = F(0,1,1,0)+F(0,0,1,1)-F(0,0,2,1) = (0,3,2,0) $

$ F(0,0,1,0) = F(0,0,2,1)-F(0,0,1,1) = (0,-1,0,0) $

$ F(0,0,0,1) = F(0,0,1,1) - F(0,0,1,0) = (0,2,1,0) $

E quindi la matrice associata è

$ M_C(F) = ((1,0,0,0),(-1,3,-1,2),(0,2,0,1),(1,0,0,0)) $

dove $ C $ è la base canonica di $ \mathbb{R}^4 $.

[mictrt]

ok e ora?

[Sk_Anonymous]

Calcola autovalori e autospazi.