Trovare matrice della simmetria di asse r e direzione v
ciao, ho un problema con una domanda di un esercizio. Vi scrivo il testo e parte dello svolgimento.
in $ A^2(RR) $ :
a)determinare la matrice rispetto al sistema di riferimento canonico della proiezione sulla retta $ r: x-y+1=0 $ nella direzione di $ v=( ( 2 ),( 1 ) ) $
b) determinare ora la matrice della stessa proiezione rispetto al sistema di riferimento $ S={ P=( ( 0 ),( 1 ) ), v1=( (1),(1) ), v2=( (2),(1) )} $
c) determinare la matrice della simmetria di asse la retta $ r $ e direzione in vettore $ v $ prima ne sistema di riferimento canonico e poi rispetto a $ S $.
Io ho svolto i primi due punti ma non sono in grado di eseguire il terzo. Se qualcuno fosse così gentile da aiutarmi, da spiegarmi solamente il procedimento per trovare la matrice di una simmetria, ne sarei troppo felice! Grazie!!
Inserisco i risultati da me trovati:
a) matrice della proiezione rispetto al s.d.r. canonico risulta essere:
$ A=( ( 1 , 0 , 0 ),( -2 , -1 , 2 ),( -1 , -1, 2 ) ) $
b) rispetto ad $ S $ è invece:
$ B=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Per favore datemi una mano! Grazie
in $ A^2(RR) $ :
a)determinare la matrice rispetto al sistema di riferimento canonico della proiezione sulla retta $ r: x-y+1=0 $ nella direzione di $ v=( ( 2 ),( 1 ) ) $
b) determinare ora la matrice della stessa proiezione rispetto al sistema di riferimento $ S={ P=( ( 0 ),( 1 ) ), v1=( (1),(1) ), v2=( (2),(1) )} $
c) determinare la matrice della simmetria di asse la retta $ r $ e direzione in vettore $ v $ prima ne sistema di riferimento canonico e poi rispetto a $ S $.
Io ho svolto i primi due punti ma non sono in grado di eseguire il terzo. Se qualcuno fosse così gentile da aiutarmi, da spiegarmi solamente il procedimento per trovare la matrice di una simmetria, ne sarei troppo felice! Grazie!!
Inserisco i risultati da me trovati:
a) matrice della proiezione rispetto al s.d.r. canonico risulta essere:
$ A=( ( 1 , 0 , 0 ),( -2 , -1 , 2 ),( -1 , -1, 2 ) ) $
b) rispetto ad $ S $ è invece:
$ B=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Per favore datemi una mano! Grazie
Risposte
Scusa il ritardo di qualche anno 
Dovrebbe essere giusto ma ho fatto abbastanza in fretta..
allora per prima cosa ti trovi le equazioni parametriche di $v = ((2),(1))$ facendo $ v = ((2),(1)) * (t) + ((x_0),(y_0)) => {(x= 2 alpha + x_0),(y= alpha + x_0):} $
per calcolare l'intersezione col piano basta che sostituisci le coordinate parametriche della retta nell'equazione di $r$ trovandoti $alpha => r: 2 alpha + x_0 - alpha - y_0 +1 => alpha = - x_0 +y_0 -1$
e calcoli le coordinate del punto sostituendo quindi $alpha$ nelle equazioni parametriche di $v$
${(x= -x_0 + 2y_0 -2),(y=-x_0 + 2y_0 -1):} $
Ora che hai le equazioni scrivi la matrice
$((1,0,0),(-2,-1,2),(-1,-1,2))$
Per il prossimo punto dovrebbe bastare trovare la matrice di cambio base $(=P^(-1))$ e fare poi $P^(-1) A P$
Per trovare $P^(-1)$ (matrice di cambio di base dell identità $ alpha_(epsilon upsilon)$) :
prima si trova la prima colonna quindi $((0),(0)) = ((0),(1)) + a* ((1),(1)) + b*((2),(1)) => {(a+2b=0),(a+b=-1):} => {(a=-2),(b=1):} $
ora troviamo le equazioni per trovare i valori da inserire nella matrice della funzione lineare:
$((x),(y)) = a* ((1),(1)) + b*((2),(1)) => {(a+2b=x),(a+b=y):} =>$ prima colonna $ ( a=-1, b=1) $; seconda colonna $ ( a=2, b=-1) $
Quindi $P^(-1) = ((1,0,0),(-2,-1,2),(1,1,-1)) $ (se ho fatto giusto...)
Ora trovi l inversa e fai $P^(-1) A P$
Il procedimento dovrebbe essere giusto anche se non sono sicuro al 100%
Per l altro punto volevo anche io chiedere al forum come fare per la simmetria!
Dovrebbe essere giusto ma ho fatto abbastanza in fretta..
allora per prima cosa ti trovi le equazioni parametriche di $v = ((2),(1))$ facendo $ v = ((2),(1)) * (t) + ((x_0),(y_0)) => {(x= 2 alpha + x_0),(y= alpha + x_0):} $
per calcolare l'intersezione col piano basta che sostituisci le coordinate parametriche della retta nell'equazione di $r$ trovandoti $alpha => r: 2 alpha + x_0 - alpha - y_0 +1 => alpha = - x_0 +y_0 -1$
e calcoli le coordinate del punto sostituendo quindi $alpha$ nelle equazioni parametriche di $v$
${(x= -x_0 + 2y_0 -2),(y=-x_0 + 2y_0 -1):} $
Ora che hai le equazioni scrivi la matrice
$((1,0,0),(-2,-1,2),(-1,-1,2))$
Per il prossimo punto dovrebbe bastare trovare la matrice di cambio base $(=P^(-1))$ e fare poi $P^(-1) A P$
Per trovare $P^(-1)$ (matrice di cambio di base dell identità $ alpha_(epsilon upsilon)$) :
prima si trova la prima colonna quindi $((0),(0)) = ((0),(1)) + a* ((1),(1)) + b*((2),(1)) => {(a+2b=0),(a+b=-1):} => {(a=-2),(b=1):} $
ora troviamo le equazioni per trovare i valori da inserire nella matrice della funzione lineare:
$((x),(y)) = a* ((1),(1)) + b*((2),(1)) => {(a+2b=x),(a+b=y):} =>$ prima colonna $ ( a=-1, b=1) $; seconda colonna $ ( a=2, b=-1) $
Quindi $P^(-1) = ((1,0,0),(-2,-1,2),(1,1,-1)) $ (se ho fatto giusto...)
Ora trovi l inversa e fai $P^(-1) A P$
Il procedimento dovrebbe essere giusto anche se non sono sicuro al 100%
Per l altro punto volevo anche io chiedere al forum come fare per la simmetria!
Teoricamente dovresti calcolarti la proiezione di asse $v$ in direzione $r$ (=$Pi_v^r$) e successivamente per trovarti la simmetria di asse $r$ in direzione $v$ devi fare $ 1_(R^n) - 2Pi_v^r$ e dovresti avere così la tua matrice!
Dal momento che non sono sicuro preferirei che qualcuno del forum confermasse!! Grazie!
Dal momento che non sono sicuro preferirei che qualcuno del forum confermasse!! Grazie!
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