Trovare matrice associata
Salve a tutti, volevo proporre il seguenti esercizio:
Sia B={v1,v2,v3} è una base dove v1=[1,-1,0]^T ; v2=[2,1,-1] ^T; v3=[0,0,-1]^T
Sia &={e1,e2,e3,e4,} la base canonica di C4 e si consideri l'applicazione lineare C3-->C4 tale che:
f(v1)=2e1+e2+e4, f(v2)=e2-e3, f(v3)=e1-2e3+e4
1) trovare la matrice B associata a f rispetto alla base canonica su dominio e codominio
2) calcolare il rango di f
3) il vettore [2 -1 0 1]^T appartene all'immagine di f? Se si, si trovi un vettore v che appartiene a C3 tale che f(v)=[2 -1 0 1]^T
4) Si trovi una base dello spazio nullo e dell'immagine di f.
Ho risolto il punto 1, la matrice B mi risulta : [2 1 0 1]^T [0 1 -1 0]^T [1 0 -2 1]^T
e ha rango 3, giusto?
ho dubbi sul punto 3 e il 4 non so come trovarlo.
Grazie mille
Sia B={v1,v2,v3} è una base dove v1=[1,-1,0]^T ; v2=[2,1,-1] ^T; v3=[0,0,-1]^T
Sia &={e1,e2,e3,e4,} la base canonica di C4 e si consideri l'applicazione lineare C3-->C4 tale che:
f(v1)=2e1+e2+e4, f(v2)=e2-e3, f(v3)=e1-2e3+e4
1) trovare la matrice B associata a f rispetto alla base canonica su dominio e codominio
2) calcolare il rango di f
3) il vettore [2 -1 0 1]^T appartene all'immagine di f? Se si, si trovi un vettore v che appartiene a C3 tale che f(v)=[2 -1 0 1]^T
4) Si trovi una base dello spazio nullo e dell'immagine di f.
Ho risolto il punto 1, la matrice B mi risulta : [2 1 0 1]^T [0 1 -1 0]^T [1 0 -2 1]^T
e ha rango 3, giusto?
ho dubbi sul punto 3 e il 4 non so come trovarlo.
Grazie mille
Risposte
per piacere usa le formule altrimenti è difficile capire per bene.
quanto al punto 3)
se il tuo vettore appartiene all'immagine, vuol dire che potrà scriversi come combinazione lineare dei vettori della base dell'immagine. Inoltre, dato un vettore è facile trovare la sua controimmagine: prendi in generico vettore di $(x,y,z)inCC^3$ ne fai l'immagine e risolvi l'equazione $f(x,y,z)=(2,-1,0,1)$
per quanto riguarda il punto 4)
si tratta di trovare una base del $kerf$, ovvero tutti quei vettori la cui immagine è il vettore nullo... quindi $f(v)=0$. Ti faccio notare che deve avere, dal teorema della dimensione, dimensione $1$
quanto al punto 3)
se il tuo vettore appartiene all'immagine, vuol dire che potrà scriversi come combinazione lineare dei vettori della base dell'immagine. Inoltre, dato un vettore è facile trovare la sua controimmagine: prendi in generico vettore di $(x,y,z)inCC^3$ ne fai l'immagine e risolvi l'equazione $f(x,y,z)=(2,-1,0,1)$
per quanto riguarda il punto 4)
si tratta di trovare una base del $kerf$, ovvero tutti quei vettori la cui immagine è il vettore nullo... quindi $f(v)=0$. Ti faccio notare che deve avere, dal teorema della dimensione, dimensione $1$
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