Trovare matrice associata
Ciao a tutti.
Sono un nuovo iscritto che ha trovato molto interessante questo portale...
Vorrei chiedere un parere a voi esperti su un esame che mi è andato male in quanto mi sono trovato spiazzato dalla richiesta che vi sottopongo:
In $R^3$ sono assegnati i vettori $v_1=(1,1,1), v_2=(2,0,1), v_3=(-2,1,-1),v_4=(1,2,1)$.
Calcolare la matrice M associata, rispetto alla base canonica, all'endomorfismo $f:R^3->R^3$ tale che $v_1, v_2, v_3$ sono autovettori e $f(v_4)=(3,5,3)$
Io so trovare la matrice associata in base canonica avendo i 3 vettori, ma non avendo gli autovettori, cosa si doveva fare?
Grazie mille...
Francesco
Sono un nuovo iscritto che ha trovato molto interessante questo portale...
Vorrei chiedere un parere a voi esperti su un esame che mi è andato male in quanto mi sono trovato spiazzato dalla richiesta che vi sottopongo:
In $R^3$ sono assegnati i vettori $v_1=(1,1,1), v_2=(2,0,1), v_3=(-2,1,-1),v_4=(1,2,1)$.
Calcolare la matrice M associata, rispetto alla base canonica, all'endomorfismo $f:R^3->R^3$ tale che $v_1, v_2, v_3$ sono autovettori e $f(v_4)=(3,5,3)$
Io so trovare la matrice associata in base canonica avendo i 3 vettori, ma non avendo gli autovettori, cosa si doveva fare?
Grazie mille...
Francesco
Risposte
"ciccio83a":
In $R^3$ sono assegnati i vettori $v_1=(1,1,1), v_2=(2,0,1), v_3=(-2,1,-1),v_4=(1,2,1)$.
Calcolare la matrice M associata, rispetto alla base canonica, all'endomorfismo $f:R^3->R^3$ tale che $v_1, v_2, v_3$ sono autovettori e $f(v_4)=(3,5,3)$
Allora:
per prima cosa scrivi una matrice che abbia $v_1$, $v_2$ e $v_3$ come autovettori:
$((1,2,-2),(1,0,1),(1,1,-1)) ((k_1,0,0),(0,k_2,0),(0,0,k_3)) ((1,2,-2),(1,0,1),(1,1,-1))^(-1)$
svolgendo i calcoli troviamo la seguente matrice:
$((-k_1 + 4 k_2 - 2 k_3 , 2 k_2 - 2 k_3, 2 k_1 - 6 k_2 + 4 k_3), (-k_1 + k_3, k_3, 2 k_1 - 2 k_3), (-k_1 + 2 k_2 - k_3, k_2 - k_3, 2 k_1 - 3 k_2 + 2 k_3))$ .
Moltiplicando per il vettore $v_4=((1),(2),(1))$ abbiamo:
$((-k_1 + 4 k_2 - 2 k_3 , 2 k_2 - 2 k_3, 2 k_1 - 6 k_2 + 4 k_3), (-k_1 + k_3, k_3, 2 k_1 - 2 k_3), (-k_1 + 2 k_2 - k_3, k_2 - k_3, 2 k_1 - 3 k_2 + 2 k_3)) ((1),(2),(1)) = ((k_1 + 2 k_2 - 2 k_3), (k_1 + k_3), (k_1 + k_2 - k_3))$
e quindi arriviamo al sistema seguente:
$((k_1 + 2 k_2 - 2 k_3), (k_1 + k_3), (k_1 + k_2 - k_3)) = ((3),(5),(3))$
che ammette la soluzione
$k_1 = 3$
$k_2 = 2$
$k_3 = 2$ .
In definitiva la matrice cercata è la seguente:
$((1,0,2),(-1,2,2),(-1,0,4))$
Grande...
Grazie 1000, non ci sarei mai arrivato da solo... Ora me lo studio per bene. :p
Grazie 1000, non ci sarei mai arrivato da solo... Ora me lo studio per bene. :p
"ciccio83a":
Grande...
Grazie 1000, non ci sarei mai arrivato da solo... Ora me lo studio per bene. :p
Prego!
Approfitto ancora della tua disponibilità...
Ho svolto come hai indicato il 1° quesito, adesso mi è richiesto di diagonalizzare la matrice associata.
Ho trovato la seguente matrice diagonalizzante: $((1,2,0),(-1,0,1),(1,1,0))$
Per trovare la matrice diagonale ho fatto: $((1,2,0),(-1,0,1),(1,1,0))^-1$ $((1,0,2),(-1,2,2),(-1,0,4))$ $((1,2,0),(-1,0,1),(1,1,0)) = ((3,0,0),(0,2,0),(2,0,2))$
Ma non dovrei avere una matrice con tutti 0 tranne gli elementi della diagonale?
Inoltre mi viene chiesto di determinare il generico endomorfismo $g$ di $RR^3$ tale che:
$Ker(g_Of)=L(v_1,v_2)$ (ker(g composto f) = Combinazione lineare di v1 e v2)
e $Im(g_Of)=L(v2)$
cosa dovrei fare in questo caso?
Grazie
Ho svolto come hai indicato il 1° quesito, adesso mi è richiesto di diagonalizzare la matrice associata.
Ho trovato la seguente matrice diagonalizzante: $((1,2,0),(-1,0,1),(1,1,0))$
Per trovare la matrice diagonale ho fatto: $((1,2,0),(-1,0,1),(1,1,0))^-1$ $((1,0,2),(-1,2,2),(-1,0,4))$ $((1,2,0),(-1,0,1),(1,1,0)) = ((3,0,0),(0,2,0),(2,0,2))$
Ma non dovrei avere una matrice con tutti 0 tranne gli elementi della diagonale?
Inoltre mi viene chiesto di determinare il generico endomorfismo $g$ di $RR^3$ tale che:
$Ker(g_Of)=L(v_1,v_2)$ (ker(g composto f) = Combinazione lineare di v1 e v2)
e $Im(g_Of)=L(v2)$
cosa dovrei fare in questo caso?
Grazie
"ciccio83a":
Per trovare la matrice diagonale ho fatto: $((1,2,0),(-1,0,1),(1,1,0))^-1$ $((1,0,2),(-1,2,2),(-1,0,4))$ $((1,2,0),(-1,0,1),(1,1,0)) = ((3,0,0),(0,2,0),(2,0,2))$
Ma non dovrei avere una matrice con tutti 0 tranne gli elementi della diagonale?
E' sbagliata la prima colonna: se metti $((1),(1),(1))$, ovvero un autovettore relativo a $lambda=3$,
le cose tornano. Prova a rifare il calcolo come ti ho detto!
Perfetto ho rifatto i conti, adesso tutto torna infatti ottengo $((3,0,0),(0,2,0),(0,0,2))$ come matrice diagonale.
Ma avrei potuto dire che la matrice diagonale è quella ottenuta senza fare i conti scrivendo una matrice con gli autovalori nella diagonale principale e poi tutti zero?
Inoltre per l'altra richiesta del compito qualcuno mi può aiutare?
Grazie
Ma avrei potuto dire che la matrice diagonale è quella ottenuta senza fare i conti scrivendo una matrice con gli autovalori nella diagonale principale e poi tutti zero?
Inoltre per l'altra richiesta del compito qualcuno mi può aiutare?
Grazie
per trovare gli autovalori della matrice associata ho trovato un altro metodo più veloce tramite sistema...
Fatemi sapere che ne pensate.
Tenendo contro che ho gli autovettori $v_1=(1,1,1), v_2=(2,0,1), v_3=(-2,1,-1),v_4=(1,2,1)$. Scrivo il seguente sistema:
$\{(f(v_1)=av_1),(f(v_2)=bv2),(f(v_3)=cv3),(f(v_4)=(3,5,3)):}$
Lavorando in base canonica posso scrivere:
$\{(f(e_1)+f(e_2)+f(e_3)=a(1,1,1)),(2f(e_1)+f(e_3)=b(2,0,1)),(-2f(e_1)+f(e_2)-f(e_3)=c(-2,1,-1)),(f(e_1)+2f(e_2)+f(e_3)=(3,5,3)):}$ $->$ $\{(f(e_1)=-a(1,1,1)+2b(2,0,1)+c(-2,1,-1)),(f(e_2)=b(2,0,1)+c(-2,1,-1)),(f(e_3)=-2c(-2,1,-1)-3b(2,0,1)+2a(1,1,1)),(f(e_1)+2f(e_2)+f(e_3)=(3,5,3)):}$ $->$ sostituendo nella quarta riga ottengo $a=3, b=2, c=2$ così trovo gli autovalori che cercavo.
Fatemi sapere che ne pensate.
Tenendo contro che ho gli autovettori $v_1=(1,1,1), v_2=(2,0,1), v_3=(-2,1,-1),v_4=(1,2,1)$. Scrivo il seguente sistema:
$\{(f(v_1)=av_1),(f(v_2)=bv2),(f(v_3)=cv3),(f(v_4)=(3,5,3)):}$
Lavorando in base canonica posso scrivere:
$\{(f(e_1)+f(e_2)+f(e_3)=a(1,1,1)),(2f(e_1)+f(e_3)=b(2,0,1)),(-2f(e_1)+f(e_2)-f(e_3)=c(-2,1,-1)),(f(e_1)+2f(e_2)+f(e_3)=(3,5,3)):}$ $->$ $\{(f(e_1)=-a(1,1,1)+2b(2,0,1)+c(-2,1,-1)),(f(e_2)=b(2,0,1)+c(-2,1,-1)),(f(e_3)=-2c(-2,1,-1)-3b(2,0,1)+2a(1,1,1)),(f(e_1)+2f(e_2)+f(e_3)=(3,5,3)):}$ $->$ sostituendo nella quarta riga ottengo $a=3, b=2, c=2$ così trovo gli autovalori che cercavo.
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