Trovare le sezioni piane di una quadrica che sono parabole
Salve a tutti,
ho un esercizio che dice:
"Nello spazio $RR^3$ riferito ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali $0\vec x\vec y\vec z$, classificare la quadrica di equazione : $(x+y)(x-z) + 2z =0$.
Trovare tutte le sezioni piane di Q che sono parabole."
Solitamente gli esercizi sulle quadriche non sono molto approfonditi dunque si trovano esercizi sulle classificazioni delle quadriche e poi niente di che...ho guardato libri differenti ma niente..
Infatti classificare una quadrica è semplice, in quanto
A= $|(1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0)|$ ; B= $|(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,0)|$
Det A > 0 e det B = 0 dunque abbiamo di fronte un paraboloide iperbolico.
Il problema che mi trovo ad affrontare è proprio trovare tutte le sezioni piane di Q che sono parabole. Qualcuno mi potrebbe spiegare come fare?
Io so solo che $C_oo$ si spezza in $\{(x+y=0),(t=0):}$; $\{(x-y=0),(t=0):}$
Spero di esser stata abbastanza chiara. Grazie a tutti!
ho un esercizio che dice:
"Nello spazio $RR^3$ riferito ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali $0\vec x\vec y\vec z$, classificare la quadrica di equazione : $(x+y)(x-z) + 2z =0$.
Trovare tutte le sezioni piane di Q che sono parabole."
Solitamente gli esercizi sulle quadriche non sono molto approfonditi dunque si trovano esercizi sulle classificazioni delle quadriche e poi niente di che...ho guardato libri differenti ma niente..
Infatti classificare una quadrica è semplice, in quanto
A= $|(1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0)|$ ; B= $|(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,0)|$
Det A > 0 e det B = 0 dunque abbiamo di fronte un paraboloide iperbolico.
Il problema che mi trovo ad affrontare è proprio trovare tutte le sezioni piane di Q che sono parabole. Qualcuno mi potrebbe spiegare come fare?
Io so solo che $C_oo$ si spezza in $\{(x+y=0),(t=0):}$; $\{(x-y=0),(t=0):}$
Spero di esser stata abbastanza chiara. Grazie a tutti!
Risposte
Io farei come segue.
L'equazione del generico piano di $E^3$ è: $ax+by+cz+d=0$ e le equazioni della conica sezione di esso con la quadrica sono date dal sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}(x+y)(x-z)+2z=0\\ax+by+cz+d=0\end{cases} \)
I coefficient $a,b,c$ non possono essere tutti nulli e quindi si può supporre, ad esempio, $c\ne 0$
( in maniera analoga si ragionerebbe se fosse $a\ne 0$ oppure $b\ne 0$ )
In tal modo, eliminando $z$ dal precedente sistema e ponendo $\frac{-a}{c}=p,-\frac{b}{c}=q,\frac{d}{c}=r$, le equazione della conica sezione diventano {tu controlla i calcoli} :
\(\displaystyle \begin{cases} z=px+qy+r \\(1-p)x^2+(1-p-q)xy-qy^2+(2p-r)x+(2q-r)y+2r=0\end{cases} \)
Imponendo che la conica sezione sia una parabola, si ha la condizione :
$(1-p-q)^2+4q(1-p)=0$ ovvero $(1-p+q)^2=0$ da cui $q=p-1$
Pertanto le parabole sezioni si ottengono tagliando la quadrica con i piani di equazione :
$z=px+(p-1)y+r$
Tali piani dipendono da i due parametri ( liberi ) $p,r$ e quindi sono $oo^2$, ovvero formano una infinità doppia.
L'equazione del generico piano di $E^3$ è: $ax+by+cz+d=0$ e le equazioni della conica sezione di esso con la quadrica sono date dal sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}(x+y)(x-z)+2z=0\\ax+by+cz+d=0\end{cases} \)
I coefficient $a,b,c$ non possono essere tutti nulli e quindi si può supporre, ad esempio, $c\ne 0$
( in maniera analoga si ragionerebbe se fosse $a\ne 0$ oppure $b\ne 0$ )
In tal modo, eliminando $z$ dal precedente sistema e ponendo $\frac{-a}{c}=p,-\frac{b}{c}=q,\frac{d}{c}=r$, le equazione della conica sezione diventano {tu controlla i calcoli} :
\(\displaystyle \begin{cases} z=px+qy+r \\(1-p)x^2+(1-p-q)xy-qy^2+(2p-r)x+(2q-r)y+2r=0\end{cases} \)
Imponendo che la conica sezione sia una parabola, si ha la condizione :
$(1-p-q)^2+4q(1-p)=0$ ovvero $(1-p+q)^2=0$ da cui $q=p-1$
Pertanto le parabole sezioni si ottengono tagliando la quadrica con i piani di equazione :
$z=px+(p-1)y+r$
Tali piani dipendono da i due parametri ( liberi ) $p,r$ e quindi sono $oo^2$, ovvero formano una infinità doppia.
Io farei come segue.
L'equazione del generico piano di $E^3$ è: $ax+by+cz+d=0$ e le equazioni della conica sezione di esso con la quadrica sono date dal sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}(x+y)(x-z)+2z=0\\ax+by+cz+d=0\end{cases} \)
I coefficient $a,b,c$ non possono essere tutti nulli e quindi si può supporre, ad esempio, $c\ne 0$
( in maniera analoga si ragionerebbe se fosse $a\ne 0$ oppure $b\ne 0$ )
In tal modo, eliminando $z$ dal precedente sistema e ponendo $\frac{-a}{c}=p,-\frac{b}{c}=q,\frac{d}{c}=r$, le equazione della conica sezione diventano {tu controlla i calcoli} :
\(\displaystyle \begin{cases} z=px+qy+r \\(1-p)x^2+(1-p-q)xy-qy^2+(2p-r)x+(2q-r)y+2r=0\end{cases} \)
Imponendo che la conica sezione sia una parabola, si ha la condizione :
$(1-p-q)^2+4q(1-p)=0$ ovvero $(1-p+q)^2=0$ da cui $q=p-1$
Pertanto le parabole sezioni si ottengono tagliando la quadrica con i piani di equazione :
$z=px+(p-1)y+r$
Tali piani dipendono da i due parametri ( liberi ) $p,r$ e quindi sono $oo^2$, ovvero formano una infinità doppia.
L'equazione del generico piano di $E^3$ è: $ax+by+cz+d=0$ e le equazioni della conica sezione di esso con la quadrica sono date dal sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}(x+y)(x-z)+2z=0\\ax+by+cz+d=0\end{cases} \)
I coefficient $a,b,c$ non possono essere tutti nulli e quindi si può supporre, ad esempio, $c\ne 0$
( in maniera analoga si ragionerebbe se fosse $a\ne 0$ oppure $b\ne 0$ )
In tal modo, eliminando $z$ dal precedente sistema e ponendo $\frac{-a}{c}=p,-\frac{b}{c}=q,\frac{d}{c}=r$, le equazione della conica sezione diventano {tu controlla i calcoli} :
\(\displaystyle \begin{cases} z=px+qy+r \\(1-p)x^2+(1-p-q)xy-qy^2+(2p-r)x+(2q-r)y+2r=0\end{cases} \)
Imponendo che la conica sezione sia una parabola, si ha la condizione :
$(1-p-q)^2+4q(1-p)=0$ ovvero $(1-p+q)^2=0$ da cui $q=p-1$
Pertanto le parabole sezioni si ottengono tagliando la quadrica con i piani di equazione :
$z=px+(p-1)y+r$
Tali piani dipendono da i due parametri ( liberi ) $p,r$ e quindi sono $oo^2$, ovvero formano una infinità doppia.
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