Trovare le inverse delle applicazioni lineari
Mi potreste spiegare la procedura per trovare le inverse (destre) di un'applicazione lineare suriettiva?
i dati sono:
f: R5 ---> R3 tale che f(t(x, y, z, s, r))=t(x+y-2z, 3x+3y-s, -2y+2r)
(con t indico la trasposta)
Ho trovato nucleo: kerf=
imf= R3
Grazie!
scusate se non ho scritto molto bene.
i dati sono:
f: R5 ---> R3 tale che f(t(x, y, z, s, r))=t(x+y-2z, 3x+3y-s, -2y+2r)
(con t indico la trasposta)
Ho trovato nucleo: kerf=
imf= R3
Grazie!
scusate se non ho scritto molto bene.
Risposte
L'applicazione non
è un isomorfismo! in che senso dici "inversa"?
Comunque, se vuoi calcolarti la /contro-immagine/ di un vettore
di $(x_1,x_2,x_3)^T$ di$RR^3$, basta che tu
risolva il sistema lineare
$(x+y-2z =x_1, 3x+3y-s=x_2, -2y+2r=x_3)$
è un isomorfismo! in che senso dici "inversa"?
Comunque, se vuoi calcolarti la /contro-immagine/ di un vettore
di $(x_1,x_2,x_3)^T$ di$RR^3$, basta che tu
risolva il sistema lineare
$(x+y-2z =x_1, 3x+3y-s=x_2, -2y+2r=x_3)$
Scusa il ritardo con cui ti rispondo.
Il testo dice:
si dica se f è suriettiva e, in caso affermativo, si determinino tutte le possibili inverse destre di f.
Il professore ha detto che la funzione g, inversa di f, è determinata ponendo g(h)= soluzione particolare + kerf
Io però non ho capito come si fa.
Grazie
Il testo dice:
si dica se f è suriettiva e, in caso affermativo, si determinino tutte le possibili inverse destre di f.
Il professore ha detto che la funzione g, inversa di f, è determinata ponendo g(h)= soluzione particolare + kerf
Io però non ho capito come si fa.
Grazie
Supponiamo di avere un'applicazione lineare [tex]f:V\to W[/tex] surgettiva.
Un'inversa destra di [tex]f[/tex], come ben saprai, è un'applicazione [tex]g:W\to V[/tex] lineare tale che [tex]f\circ g=id_W[/tex].
La surgettività di [tex]f[/tex] assicura l'esistenza di un'inversa destra (che in generale non è unica).
Premesso ciò, cerco di spiegare cosa ha detto il tuo prof. Se ancora non sarà chiaro, dimmi pure cosa ti turba
Cerchiamo un'applicazione [tex]g:W\to V[/tex] inversa destra di [tex]f[/tex] nell'ipotesi che [tex]W[/tex] abbia dimensione finita.
Supponiamo che [tex]e_1,...e_n[/tex] sia una base di [tex]W[/tex].
Per definire l'applicazione [tex]g[/tex], basta capire come agisce sui vettori [tex]e_i[/tex].
Bene, basta porre
[tex]g(e_i)= \textrm{ una soluzione particolare di ``$f(x)=e_i$'' }+\textrm{ un vettore qualsiasi (anche quello nullo) di $ker f$}[/tex].
Osserva che l'equazione [tex]\textrm{``$f(x)=e_i$''}[/tex] (nell'incognita [tex]x\in V[/tex]) ammette soluzione in virtù della surgettività di [tex]f[/tex].
Dovresti in sostanza risolvere un sistema lineare, così come suggerito da "orazioster".
Ora devi sostituire a [tex]V,W,f[/tex] i dati del tuo problema e concludere. Buon lavoro!
P.S. Dimenticavo: benvenut* nel forum!
Un'inversa destra di [tex]f[/tex], come ben saprai, è un'applicazione [tex]g:W\to V[/tex] lineare tale che [tex]f\circ g=id_W[/tex].
La surgettività di [tex]f[/tex] assicura l'esistenza di un'inversa destra (che in generale non è unica).
Premesso ciò, cerco di spiegare cosa ha detto il tuo prof. Se ancora non sarà chiaro, dimmi pure cosa ti turba
Cerchiamo un'applicazione [tex]g:W\to V[/tex] inversa destra di [tex]f[/tex] nell'ipotesi che [tex]W[/tex] abbia dimensione finita.
Supponiamo che [tex]e_1,...e_n[/tex] sia una base di [tex]W[/tex].
Per definire l'applicazione [tex]g[/tex], basta capire come agisce sui vettori [tex]e_i[/tex].
Bene, basta porre
[tex]g(e_i)= \textrm{ una soluzione particolare di ``$f(x)=e_i$'' }+\textrm{ un vettore qualsiasi (anche quello nullo) di $ker f$}[/tex].
Osserva che l'equazione [tex]\textrm{``$f(x)=e_i$''}[/tex] (nell'incognita [tex]x\in V[/tex]) ammette soluzione in virtù della surgettività di [tex]f[/tex].
Dovresti in sostanza risolvere un sistema lineare, così come suggerito da "orazioster".
Ora devi sostituire a [tex]V,W,f[/tex] i dati del tuo problema e concludere. Buon lavoro!
P.S. Dimenticavo: benvenut* nel forum!
quindi se ho capito bene, riconducendomi ai dati del mio problema, ottengo:
g(e)=t(2,5,4) + t(-1,1,0,0,1) k , con $ k in RR $
dove t(2,5,4) l'ho ottenuto facendo f(t(1,1,0,1,3)), vettore scelto a piacere.
Ho capito bene?
g(e)=t(2,5,4) + t(-1,1,0,0,1) k , con $ k in RR $
dove t(2,5,4) l'ho ottenuto facendo f(t(1,1,0,1,3)), vettore scelto a piacere.
Ho capito bene?
Cerca di imparare a scrivere le formule (click). Vedrai che i tuoi messaggi appariranno più chiari.
Venendo a noi devi trovare un'applicazione lineare $g:RR^3\to RR^5$ inversa destra di $f$.
Non è chiaro ciò che scrivi:
Chi è $e$? E poi $g$ va a finire in $RR^5$, non può essere che $g$ dia in output una terna!
Per definire un'applicazione $g:RR^3\to RR^5$ ti basta definire
$g((1),(0),(0))$, $g((0),(1),(0))$, $g((0),(0),(1))$
Vediamo il primo. Rileggi con calma quanto ti ho detto prima:
Dunque, devi risolvere il sistema $f((x),(y),(z),(s),(r))=((1),(0),(0))$, trovando una soluzione particolare e poi puoi porre
$g((1),(0),(0))="soluzione precedentemente trovata + un elemento del nucleo di f"$.
Poi puoi fare la stessa cosa con $g((0),(1),(0))$, $g((0),(0),(1))$
Venendo a noi devi trovare un'applicazione lineare $g:RR^3\to RR^5$ inversa destra di $f$.
Non è chiaro ciò che scrivi:
"laradt":
g(e)=t(2,5,4) + t(-1,1,0,0,1) k , con $ k in RR $
Chi è $e$? E poi $g$ va a finire in $RR^5$, non può essere che $g$ dia in output una terna!
Per definire un'applicazione $g:RR^3\to RR^5$ ti basta definire
$g((1),(0),(0))$, $g((0),(1),(0))$, $g((0),(0),(1))$
Vediamo il primo. Rileggi con calma quanto ti ho detto prima:
"cirasa":
Bene, basta porre
[tex]g(e_i)= \textrm{ una soluzione particolare di ``$f(x)=e_i$'' }+\textrm{ un vettore qualsiasi (anche quello nullo) di $ker f$}[/tex].
Dunque, devi risolvere il sistema $f((x),(y),(z),(s),(r))=((1),(0),(0))$, trovando una soluzione particolare e poi puoi porre
$g((1),(0),(0))="soluzione precedentemente trovata + un elemento del nucleo di f"$.
Poi puoi fare la stessa cosa con $g((0),(1),(0))$, $g((0),(0),(1))$
Grazie! finalmente mi è tutto più chiaro!
grazie per la disponibilità
grazie per la disponibilità
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