Trovare le basi per degli spazi vettoriali con i numeri in C

[Ghezzabanda]

Salve!
Dovrei trovare una base e dimostrare che è tale per i seguenti spazi vettoriali:
${(x,y) : x+iy=0}$ come spazio Vettoriale su C
${(x,y) : x+iy=0}$ come spazio Vettoriale su R


Ma non ho la minima idea di come fare

[_Tipper]

$x=-iy$

Pongo $y=\alpha$, quindi il generico vettore è: $((-i\alpha),(\alpha))=\alpha((-i),(1))$

Questa direi che è la base in $\mathbb{C}$

[Ghezzabanda]

"Tipper":$x=-iy$

Pongo $y=\alpha$, quindi il generico vettore è: $((-i\alpha),(\alpha))=\alpha((-i),(1))$

Questa direi che è la base in $\mathbb{C}$

Ok, ma come dimostreresti che quella è eramente la tua base? Bastrebeee dire semplicemente che cambiando la a posso ottenre tuti gli altri numeri complessi di quella forma?!

E che differenza c'è allora con quello rispetto a R?

[_Tipper]

Secondo me la dimostrazione che quella è una base sta proprio nel modo in cui l'ho determinata: ho scritto il generico vettore appartenente a tale spazio, raccogliendo il parametro libero ho trovato un particolare vettore attraverso cui è possibile esprimere tutti gli altri.

Sicuramente mi sbaglio, ma secondo me non si può trovare una base di tale spazio su $\mathbb{R}$, in quanto uno dei coefficienti deve complesso.

[Maxos2]

certo ma basta prendere un vettore con una componente immaginaria, questo è una vettore di uno spazio reale oltre che complesso, non c'è problema, l'unica differenza è che dove su $CC$ lo spazio ha dimensione $n$, su $RR$ avrà dimensione $2n$

del resto $CC$ è uno spazio vettoriale reale isomorfo a $RR^2$