Trovare l'applicazione lineare associata ad una matrice

[alessio_baiocco]

Sia $ R_2(x)={a_0+a_1x+a_2x^2,a_iin R} $ lo spazio costituito dai polinomi di grado al più 2 e dal polinomio nullo. Sia inoltre
$ L:R_2(x)->R^2 $ l'applicazione lineare rappresentata dalla matrice $ A= ( ( 1 , 2 , -1 ),( -2 , -4 , 2 ) ) $ rispetto alle basi ordinate $ B={1,x,x^2} $ di $ R_2(x) $ e $ B'={(1,5),(0,1)} $ di $ R^2 $ . Devo trovarne dimensione e una base dell' immagine e trovarne $ L(x^2) $

[Magma1]

"studemte depresso": Devo trovare dimensione e base dell' immagine e trovare $ L(x^2) $

Iniazia a cercare allora

"studemte depresso":Sia $ R_2(x)$ lo spazio costituito dai polinomi di grado al più 2 e dal polinomio nullo.

$RR[x]_(<=2)$

$ RR[x]_(<=2) $

[alessio_baiocco]

Ah giusto, mi sono dimenticato di scrivere cosa ho provato a fare :
a quanto so $ A $ è la matrice che rappresenta le coordinate per cui si possono scrivere le immagine dell'applicazione lineare tramite combinazione lineare delle basi, quindi se quello che so non è sbagliato...
$ L_1(1,x,x^2)=1*(1,5)-2*(0,1))=(1,3) $
$ L_2(1,x,x^2)=2*(1,5)-4*(0,1)=(2,6) $
$ L_3(1,x,x^2)=-1*(1,5)+2*(0,1)=(-1,-3) $
che sarebbero le immagini dell'applicazione lineare, $ Im=( ( 1 , 3 ),( 2 , 6 ),( -1 , -3 ) ) $
questa matrice ha rango 1 quindi una base dell'immagine è $ {(1,3)} $ ...
credo di aver sbagliato qualcosa...
e non ho idea di come si calcoli $ L(x^2) $

[Magma1]

Allora , faccio un po' d'ordine altrimenti mi confondo,

"studemte depresso":Sia

$ L: RR[x]_(<=2)->RR^2 $ defintia

$L(v):= Av= ( ( 1 , 2 , -1 ),( -2 , -4 , 2 ) )v, qquad v in RR^3 $

rispetto alle basi ordinate

$ B={1,x,x^2} $ di $ RR[x]_(<=2)$

$ B'={(1,5),(0,1)} $ di $ RR^2 $

Determinare $dim(ker(L)$, $dim(Im(L))$ e rispettive basi e trovare $ L(x^2) $

Però non riesco a capire bene cosa hai fatto, ad esempio cosa intendi con $L_i, qquad i=1,2,3$? e perché hai scritto quella matrice?

In ogni caso la determinazione di $dim(Im(L))$ è equivalente al calcolo del $r(A)$: essendo $r(A)=1$, una base di $Im(L)$ è proprio

${((1),(3))}$

Ora, $dim(ker(L))$ è immediata, ma sapresti determinare una base?